298 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен ИЛИ в матричной форме

(5.230)

Аналогичным образом можно записать

(5.231)

Таким образом,

- (УгЧ - yth xzi - xz - {xyi - xy) yi-yl -{xz-xz) xy-Xyy J

(5.232)

Следовательно, метрические коэффициенты имеют вид

(5.233)

где / - якобиан преобразования:

d{x,y,z)

(5.234)

который вычисляется следующим образом: / 1 -i i/£(£l1l£). i

= {УцЧ - f/CTj) - Tj - yih) + - yh) (5.235)

Метрические коэффициенты легко находятся, когда имеется обратное преобразование

х = х{1, Т], У,

У = У{1,ЦЛ), (5.236)

= (g, Л, а

В случае когда сетка строится численным путем, они вычисляются численно с использованием центральных разностей в вычислительной плоскости. Подробное обсуждение этого способа расчета метрических коэффициентов отложим до гл. 10.

Если применить преобразование координат общего вида к уравнениям Навье -Стокса для сжимаемого газа (5.44), записанным в векторной форме, то получим следующее преобразованное уравнение:

+ 5гО + ЛзО, + ?.Ос = 0. (5.237)

Вивьян [Viviand, 1974] и Винокур [Vinokur, 1974] показали, что уравнения газовой динамики могут быть записаны в строго дивергентной форме при помощи некоторого преобразования координат. Для этого разделим сначала преобразованное уравнение на якобиан и перегруппируем его, добавляя и вычитая одинаковые члены. Для уравнения (5.237) это даст

ЕЧх + Fx\y 4- G42

= 0.

(5.238)

Последние три члена в квадратных скобках равны нулю. Это легко проверить, подставляя в них выражения для метрик

300 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен (5.233). Если теперь определить величины

E,=7-(E, + F„+Gy,

, (5.239)

Р,=-Ь(Ел, + Рл+0л2),

G,=(E?, + F?,+ Gy

и подставить их в уравнение (5.238), то уравнение в строго дивергентной форме будет выглядеть следующим образом:

Необходимо помнить, что векторы Ei, Fi и Gi содержат частные производные в членах с вязкостью и теплопроводностью, которые должны быть преобразованы в соответствии с уравнениями (5.228). Например, сдвиговые напряжения хху будут преобразованы к виду

ди . ди , ди . dv . dv . dv \

(5.241)

Строго дивергентная форма записи уравнений удобна при составлении разностных схем. Следует, однако, быть внимательным при ее использовании на сетках с переменным шагом. В этом случае во избежание внесения ошибок в решение при дискретизации метрик необходимо соблюсти ограничение, называемое геометрическим законом сохранения (Thomas, Lombard, 1978]. Оно будет обсуждено в гл. 10.

Задачи

5.1. Проверьте равенство (5.9).

5.2. Покажите, что для несжимаемой жидкости с постоянными свойствами уравнение (5.18) сводится к уравнению (5.21).

5.3. Проверьте равенство (5.30).

5.4. Используя процедуру обезразмеривания, описанную в п. 5,1.6, выведите уравнение (5.47).

5.5. Запишите уравнение энергии (5.33) для осесимметричного течения в координатах, связанных с телом.

5.6. Запишите уравнение Навье - Стокса (5.21) для несжимаемой жидкости в сферической системе координат.