5.7. Покажите, что рм" = рм.

5.8. Покажите, что й - й = рм7р.

5.9. Проверьте, что t?"=-pV/p.

5.10. Исходя из уравнения (5.80), покажите все шаги получения уравнения (5.81).

5.11. Получите уравнение (5 84) подстановкой СрТ = Н - uiuil2 в уравнение (5.81).

5.12. Покажите все этапы получения уравнения (5.76) из уравнений Навье - Стокса.

5.13. Оцените по порядку величин члены двумерного уравнения Навье - Стокса для несжимаемой жидкости в случае двумерной ламинарной струи и покажите, какими членами можно пренебречь.

5.14. Объясните, почему уравнения пограничного слоя можно применять в случае развивающегося течения в трубе.

5.15. Укажите граничные условия для уравнений тонкого сдвигового слоя для случая двумерного сдвигового слоя, образованного слиянием двух однородных потоков со скоростями Va И Vb

5.16. Уравнения пограничного слоя (5.104) -(5.106) были получены для чисел Прандтля порядка единицы. Для ламинарного течения на нагреваемой плоской пластине покажите, какие изменения в эти уравнения следует внести, чтобы они были пригодны для чисел Прандтля порядка е, 8, l/e, l/e.

5.17. Используя уравнения Навье - Стокса, получите точные уравнения переноса рейнольдсовых напряжений для несжимаемого турбулентного пограничного слоя, т. е. получите выражения для pDtttty/Z)/. Покажите все этапы процедуры.

5.18. Используя выражения для переноса напряжений Рейнольдса из задачи 5.17, положите в них t =/, чтобы получить выражение для переноса кинетической энергии турбулентности.

5.19. Используя модельные формы уравнения кинетической энергии турбулентности (5.147), покажите, что, когда конвекция и диффузия кинетической энергии турбулентности пренебрежимо малы, то модель кинетической энергии турбулентности сводится к формуле Прандтля для длины пути смешения.

5.20. Полагая, что конвекция и диффузия кинетической энергии турбулентности малы внутри области логарифмического закона скорости для пристенного турбулентного пограничного слоя, найдите выражение для кинетической энергии турбулентности на внешней границе области логарифмического закона скорости в терминах сдвиговых напряжений на стенке. Сравните эту*, оценку с экспериментальными измерениями , которые выполнил Клебанофф (см. [Hinze, 1975]).

5.21. Считая формулу Прандтля длины пути смешения справедливой для пристенного турбулентного пограничного слоя, получите выражение для отношения кажущейся турбулентной вязкости к молекулярной вязкости для области логарифмического закона.

5.22. Проверьте граничное условие для k на внутренней границе, задаваемое уравнением (5.148).

5.23. Определите функцию тока стационарного двумерного течения сжимаемой жидкости, рассматриваемого в связанных с поверхностью тела координатах.

5.24. Получите уравнение (5.220).

5.25. Проверьте уравнения (5.222) и (5.223).

5.26. Преобразуйте двумерные уравнения Навье -Стокса для несжимаемой жидкости (5.21), используя преобразование (5.217).

5.27. Покажите, что преобразование

JC = г cos 9, г/ = г sin 9, 2 = 2

будет переводить трехмерное уравнение неразрывности сжимаемого газа, записанное в цилиндрических координатах, в уравнение неразрывности, записанное в декартовых координатах.

5.28. Последовательно примените преобразования (5.224) и (5.210) к уравнению энергии невязкого газа (5.179), записанному для стационарного двумерного течения.

5.29. Преобразуйте двумерное уравпенис неразрывности

др , дди , дру dt дх ду

к вычислительной плоскости (т, 5> Л)» используя преобразование

Т = Л l = l(t. ЛГ, у). Т1 = Т1(/, x. У).

Воспользуйтесь методикой Вивьяна, чтобы записать преобразованное уравнение в дивергентной форме.

5.30. Преобразуйте стационарные уравнения Эйлера (5.192) к координатам (?, Л. Q» используя преобразование

1 = х, t\ = t\(x, у, z), £ = £ (х, у, г).

Воспользоваться методикой Вивьяна, чтобы записать преобразованные уравнения в дивергентной форме.

5.31. Рассмотрите преобразование

т =

g = g ( x, у, 2),

Ч = Л x, у, 2), £ = ?( x. у. 2).

(a) Определите выражения для якобиана этого преобразования, а также для метрических коэффициентов.

(b) Выполните это преобразование для уравнений Навье -Стокса для сжимаемого газа, записанных в векторной форме (5.44).

Глава 6

Численные методы решения уравнений течения невязкой жидкости

6.1. Введение

Уравнения Навье - Стокса описывают течения жидкости в задачах как внутренней, так и внешней аэродинамики. Численное решение уравнений Навье-Стокса зачастую невозможно или по крайней мере не представляет практического интереса, а во многих задачах в нем просто нет необходимости. Результаты, полученные из решения уравнений Эйлера, имеют практическую значимость на стадии предварительного проектирования, когда требуется только знание распределения давления. В задачах расчета трения и теплопередачи решение уравнений пограничного слоя дает адекватные результаты. Однако на первом этапе анализа требуется найти граничные условия на внешней границе опять-таки из решения уравнений течения невязкой жидкости.

Уравнения Эйлера представляют и самостоятельный интерес, поскольку в них содержатся основные элементы динамики жидкости. Например, в течениях жидкости часто возникают внутренние разрывы, такие, как ударные волны или контактные разрывы. Известные соотношения Гюгонио - Рэнкина связывают конечные параметры газа по обе стороны от ударной волны. Эти соотношения содержатся в решениях уравнений Эйлера.

Уравнения Эйлера описывают течения невязкого нетеплопроводного газа и имеют различный тип при разных режимах течения. Если в них сохранены зависящие от времени члены, то тип получающихся нестационарных уравнений гиперболический для любых чисел Маха и они могут быть решены с использованием маршевых по времени процедур. Совсем другая ситуация имеет место при рассмотрении стационарных течений. В этом случае тип уравнений Эйлера эллиптический на дозвуковых режимах течения и гиперболический на сверхзвуковых.

Этот факт изменения типа уравнений послужил толчком к развитию методов решения задач стационарной трансзвуковой аэродинамики, длившемуся многие годы. Для расчета течений невязкой жидкости используются многочисленные упрощенные версии уравнений Эйлера. Для случая несжимаемых жидкостей часто пользуются допущением о безвихревом характере течения. При этом решение уравнения Лапласа для потенциала