скорости обеспечивает необходимую информацию. Связана с уравнениями Эйлера и система уравнений для малых возмущений. Для дозвуковых и сверхзвуковых течений уравнение Прандтля - Глауэрта дает хорошее приближение первого порядка для потенциала. Для трансзвуковых течений уравнение малых возмущений остается нелинейным. В табл. 6.1 приведена классификация уравнений движения невязкой жидкости.

Таблица вЛ. Классификация уравнений Эйлера

Для решения уравнений Эйлера или любых их видоизменений используются самые разные методы. Основная цель настоящей главы -представить получившие наибольшее распространение методы решения задач течения невязкой жидкости. Так как для нас наибольший интерес представляют конечно-разностные методы, то многие другие методы, интенсивно применяющиеся в последнее время, мы не рассматриваем. Наиболее известным среди них является метод конечных элементов. Он широко применяется для расчетов течений несжимаемой жидкости вокруг конфигураций различной формы.

§ 6.2. Метод характеристик

В общем случае решений нелинейных гиперболических уравнений в частных производных в аналитическом виде не существует, поэтому приходится прибегать к численным методам для их решения. Старейшим из них является метод характеристик, который наиболее близок к точному решению гиперболических уравнений в частных производных. Даже если этот метод заменяется новыми наиболее легко реализуемыми конечно-разностными методами, тем не менее в основе этих методов лежат теория характеристик и ее приложения.

В гл. 2 мы выяснили, что с гиперболическими уравнениями связаны некоторые направления или поверхности, которые определяют области влияния. Сигналы распространяются вдоль этих выделенных поверхностей, влияя на решения в других точках внутри областей влияния. Метод характеристик использует известное физическое поведение решения в каждой точке течения. Понять существенные свойства метода характеристик можно на примере исследования линейного уравнения в частных производных второго порядка.

(6.3)

дх ду * дх ду

С начальными и граничными условиями

г/(0, t/) = 0, v{0, t/) = 0, у>0,

v{x, 0) = v, y = 0.

Чтобы использовать метод характеристик, систему (6.3) следует записать вдоль характеристик. Итак, на первом этапе этой процедуры выписываются уравнения для характеристик.

Пусть начальные условия этой задачи заданы на гладкой кривой С. Рассмотрим методы построения решения уравнения (6.3) вблизи этой кривой. Если решение достаточно гладкое, то первый метод, который следует рассмотреть, состоит в разложе-

6.2.1. Линейные системы

Рассмотрим стационарное сверхзвуковое течение невязкого нетеплопроводного совершенного газа. Допустим, что помещенное в однородный набегающий поток тонкое тело только слегка возмущает его, так что течение удовлетворяет предположениям о малых возмущениях (см. п. 5.5.6) ujUoo <С 1, v/lJoo 1, где и НУ - возмущенные компоненты скорости. Если исключить из рассмотрения трансзвуковые и гиперзвуковые течения, основные уравнения сводятся к уравнению Прандтля - Глауэрта для сверхзвукового течения. Если ось х направлена вдоль скорости невозмущенного потока, это уравнение можно записать в виде

(1-М1),, + ,, = 0. (6.1)

Число Маха набегающего потока обозначено через М оо, а ВОЗ" мущенный потенциал скорости - через ф. Начальные условия задаются на гладкой кривой С. В нашем случае в качестве этой кривой принимается прямая х = const. Граничные условия задаются на у =0.

(х, 0) = (/.(). ф{0,у)=0. (6.2)

Чтобы сформулировать задачу для системы уравнений, удобно рассмотреть постановку задачи, почти эквивалентную введенной в гл. 2. Используя возмущенные компоненты скорости

и = дф/дх, V = дф/ду

и обозначение P = ML - 1, уравнение (6.1) можно представить в виде системы

нии в ряд Тейлора в некоторой точке, лежащей на кривой С. Пусть мы интересуемся решением в малой окрестности этой точки, поэтому оставляем в разложении в ряд только члены с первыми производными. Тогда решение для и либо для v может быть записано в виде

и{х + Ах, у + Ау) = и{х, y) + Ax-j{x, y) + Ayj{x, у)+ ....

(6.5)

В этом выражении точка с координатами (л:, у) находится на кривой, где заданы начальные данные для и и т. е. и и v известны на кривой С. Требуется вычислить первые производные в разложении в ряд Тейлора. Если через s обозначать длину дуги вдоль кривой С, то можно записать

du ds dv ds

ди dx . ди dy

дх ds ду ds

dv dx . dv dy

dx ds dy ds

(6.6)

Система из четырех уравнений для неизвестных производных (6.3) и (6.6) может быть решена любым стандартным методом, например по правилу Крамера. Очевидно, что определитель коэффициентов этой системы не должен обращаться в нуль. Если это происходит, то кривая С совпадает с одной из характеристик системы и в соответствии с материалом, изложенным в гл. 2, производные нельзя определить однозначно. Уравнения характеристик получаются из приравнивания нулю определителя системы:

р2 О 0-1 0-110

dx ds

dy ds

О О

dx ds ds

= 0.

(6.7)

Раскрывая этот определитель и решая характеристическое уравнение, получаем выражения

dy/dx==±m, (6.3)

которые являются дифференциальными уравнениями характеристик, показанных на рис. 6.1. Так как р - константа, то эти уравнения можно проинтегрировать, что дает

§ = л: - ру, г\ = х + у.

(6.9)