В этой главе приведены конечно-разностные методы решения рассматриваемых уравнений и некоторые численные результаты. Основное внимание уделено применению методов и подходов, уже описанных в гл. 3 и 4, а не подробному изложению какого-то одного общего конечно-разностного метода. В других работах подробно описаны несколько конечно-разностных методов решения уравнений пограничного слоя. Мы не будем повторять изложенные в этих работах детали, если только они не потребуются нам для иллюстрации ключевых моментов.

История численных методов решения уравнений пограничного слоя восходит к 1930-1940 гг. Конечно-разностные методы, близкие по форме к используемым в настоящее время, были созданы в 50-е гг. [Friedrich, Forstall, 1953; Rouleau, Osterle, 1955]. По сравнению с методами расчета некоторых других классов течений конечно-разностные методы решения уравнений пограничного слоя относительно хорошо развиты и апробированы. Несмотря на это, регулярно продолжают появляться новые численные методы решения этих уравнений.

§ 7.2. Краткое сравнение различных методов расчета пограничного слоя

Прежде чем перейти к изучению конечно-разностных методов расчета пограничного слоя, полезно напомнить, что в течение многих лет их решения находились другими методами, а для некоторых простых течений необходимые для инженерных приложений результаты были получены в виде простых формул. Эти результаты приведены в учебниках по гидромеханике, аэродинамике и теплообмену. Наиболее важные сведения о вязких течениях можно найти в монографиях Шлихтинга [Schlichting, 1979] и Уайта [White, 1974].

За исключением нескольких работ, основанных на теории подобия, встречающиеся в современной литературе методы расчета пограничного слоя можно разбить на три группы: (1) интегральные методы, (2) конечно-разностные методы, (3) методы конечных элементов.

Интегральные методы можно применять к широкому классу ламинарных и турбулентных течений, более того, любая задача, которая может быть решена конечно-разностным методом, может быть решена и интегральным методом. До 60-х гг. интегральные методы были основными вычислительными методами, которые использовались для решения сложных задач гидродинамики и теплообмена. Характерной чертой этих методов является то, что они преобразуют уравнения в частных производных в обыкновенные дифференциальные уравнения. Для этого делаются некоторые предположения о виде профилей скорости и температуры (обычно предполагают, что они являются функциями N параметров), а уравнения интегрируются по одной из независимых переменных (обычно, по нормальной к стенке координате). Многие из таких методов можно отнести к методам взвешенной невязки. Можно показать, что при очень больших N решение, полученное методом взвешенной невязки, стремится к точному решению уравнений в частных производных.

Для решения сложных задач современными интегральными методами необходимо использовать ЭВМ. На практике оказывается, что воспользоваться интегральными методами не так просто, как конечно-разностными (применение интегральных методов требует больше интуиции). Эти методы не так гибки и носят не столь общий характер, как конечно-разностные методы; они обычно требуют большей модификации при изменении граничных или каких-либо других условий задачи. В последние годы большинство ученых предпочитают для расчета сложных погранслойных течений применять конечно-разностные, а не интегральные методы. Однако интегральные методы имеют по

-PCpVr =

PTj, ду

Если при решении уравнения энергии выбрать в качестве искомой неизвестной полную энтальпию Я, то в выражении для турбулентного теплового потока удобно исключить Г при помощи определения полной энтальпии Н = СрТ -f -f В приближении пограничного слоя величиной можно пренебречь.

крайней мере несколько очень влиятельных защитников и могут быть использованы для решения важных современных задач.

Метод конечных элементов стал использоваться для решения уравнений пограничного слоя относительно недавно. Вопросы, связанные с применением этого метода для расчета пограничного слоя, рассмотрены Чангом (Chung, 1978]. Целью всех перечисленных методов является сведение задачи, описываемой уравнениями в частных производных, к алгебраической задаче. Методы отличаются лишь процедурой, используемой для такой дискретизации. Вероятно, в будущем будут созданы гибридные вычислительные схемы, которые позволят сохранить лучшие свойства каждого из этих методов.

§ 7.3. Конечно-разностные методы расчета двумерных и осесимметричных стационарных внешних течений

7.3.1. Обобщенная форма записи уравнений

Наиболее удобная форма записи уравнений пограничного слоя зависит от рассматриваемой задачи. Так, в случае ламинарных течений часто применяют преобразование координат, позволяющее использовать почти постоянное число точек поперек слоя. Уравнение энергии обычно записывается по-разному для сжимаемых и несжимаемых течений. На практике часто приходится дополнять или изменять разностную схему, разработанную для какого-либо уравнения в частных производных, чтобы применить ее для решения аналогичного, но отличающегося в некоторых деталях уравнения. Выбор оптимальной схемы решения обычно достигается лишь методом проб и ошибок.

В гл. 5 приведены уравнения пограничного слоя в физической системе координат (уравнения (5.116)-(5.119)). Воспользуемся гипотезой Буссинеска и выразим напряжения Рейнольдса и турбулентный тепловой поток через коэффициент турбулентной вязкости \хт и турбулентное число Прандтля Рг:

-9UV =х,

рт дТ