0«lF + P°t-0A + 7-ir( + %)i-J- (7.1)

Уравнение энергии

P" ду ду - г-» ду V IVPr TJW

>(l-) + .,(l-)]«f-}). (7.2)

Уравнение неразрывности

(г"ри) + (г"р5) = 0, (7.3)

дх ду Уравнение состояния

Р = Р(Г, р). (7.4)

Кроме того, необходимо задать коэффициенты (i, Л, Ср как функции от температуры.

Введенный в гл. 5 параметр т равен 1 для осесимметричных и О для плоских течений, а 3 = (рб + pV)/p. При m = О имеем г" = 1 и уравнения принимают вид, необходимый для описания двумерных течений.

Основной неизвестной в уравнении движения (7.1) является и. Удобно рассматривать это уравнение как уравнение переноса, содержащее члены, описывающие конвекцию и диффузию составляющей скорости и и источниковый член. Уравнение энергии тоже можно рассматривать как уравнение переноса полной энтальпии Я с аналогичной интерпретацией его членов. Такую интерпретацию можно распространить на уравнения движения и энергии в случае нестационарного пограничного слоя.

Обычно оба уравнения (7.1) и (7.2) можно записать в виде уравнения переноса

(такая запись уравнений невозможна лишь при использовании некоторых моделей турбулентности, например модели, предложенной Брэдшоу [Bradshaw et al., 1967]).

В уравнении (7.5) ф - обобщенная переменная, совпадающая с и для уравнения движения и с Я для уравнения энергии.

Проведя указанную подстановку, приведем уравнения двумерного или осесимметричного стационарного сжимаемого пограничного слоя к виду:

Уравнение движения по координате х

X - обобщенный коэффициент диффузии. Расположенные в левой части уравнения члены описывают конвекцию ф, первый член в правой части - диффузию ф, а 5 - источниковый член. Источниковыми в уравнениях с частными производными называют члены, не содержащие производных от неизвестной ф. Например, член peUedue/dx В уравнении (7.1) и член, содержащий иди/ду в уравнении (7.2), - источниковые члены.

Большинство приведенных в гл. 5 дифференциальных моделей турбулентности также описываются уравнениями вида (7.5). , Так как уравнения движения и энергии приводятся к виду (7.5), они являются параболическими уравнениями, допускающими решение маршевым методом в направлении оси х. Если на основе тех или иных предложений определить коэффициенты уравнений, то из конечно-разностных аналогов уравнений движения, энергии и неразрывности можно независимо определить изменение на одном шаге по х всех неизвестных, т. е. найти новые значения w/, Hj и 5/. Предложенная стратегия решения иллюстрируется следующим образом:

Решаемое маршевым методом уравнение Определяемая неизвестная

движения в проекции на ось х Wy"

энергии я;+

состояния + неразрывности "

После каждого шага по маршевой координате коэффициенты всех уравнений вычисляются заново, поэтому фактически решения трех этих уравнений взаимосвязаны, а независимо решаются (расщепляются) лишь алгебраические уравнения на каждом шаге по маршевой координате. В некоторых методах расчета все уравнения полагаются взаимосвязанными, поэтому на каждом шаге по маршевой координате решается существенно большая система алгебраических уравнений для одновременного определения Hf, 5/. Расщепление системы алгебраических уравнений является наиболее простым методом расчета, приводящим для большинства течений к неплохим результатам.

7.3.2. Пример применения простого явного метода

Хотя простой явный метод в настоящее время почти не используется для расчета пограничных слоев из-за жестких ограничений, накладываемых при его применении условиями устойчивости, мы в учебных целях приведем здесь одну достаточно общую разностную схему решения уравнений пограничного слоя, предложенную By [Wu, 1961]. Рассмотрим двумерное несжи-

маемое ламинарное течение без теплообмена. Оно описывается уравнениями в частных производных (5.104) и (5.105).

Конечно-разностный аналог этих уравнений можно записать в виде

Уравнение движения по координате х

Г/...............2А£

Уравнение неразрывности

"-"" = 0 + О(Д;с) + О(Д/) (7.7)

Аг/ • 2Ал:

При обтекании плоской пластины (рис. 7.1) расчет обычно начинают с передней кромки, предполагая, что на ней и = иу

-а?,п

Уравнение двитения

Уравнение неразрывности

Рис. 7.1. Простая явная схема.

а = 0. Знать величину и/ в явном алгоритме необходимо для того, чтобы решить уравнения на (/7+1)-м слое, однако математическая формулировка задачи для уравнений с частными производными не требует задания начального распределения v"}. Подходящее начальное распределение величины v"} можно найти [Ting, 1965] при помощи уравнения неразрывности используемого для исключения производной ди/дх из уравнения движения. Тогда для ламинарного несжимаемого течения получим

Так как

до , ди dUe I ди

dv , ди