Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

идее преимуществом разностных схем, основанных на используемой в блочном методе разностной аппроксимации, является то, что второй порядок точности достигается формально и на неравномерной сетке. Схему Кранка - Николсона можно обобщить на случай неравномерной сетки, применив для аппроксимации вторых производных соотношения (3.98), которыми мы пользовались при построении конечно-разностного аналога уравнения Лапласа. Если шаг сетки произволен, то.формально получим разностную схему первого порядка точности. Блоттнер [Blottner, 1974] показал, что в тех случаях, когда введение сетки с неравномерным шагом эквивалентно преобразованию переменных, растягивающему координаты, на такой неравномерной сетке схема Кранка - Николсона имеет второй порядок точности.

Применение блочного метода для расчета пограничного слоя.

Келлер и Цебеци [Keller, Cebeci, 1972] применили блочный метод для расчета пограничного слоя, преобразовав предварительно уравнения неразрывности и движения в одно уравнение в частных производных третьего порядка. Для этого они воспользовались преобразованиями Степанова - Манглера и Леви - Лиза (см. [Cebeci, Smith, 1974]). Уравнение в частных производных третьего порядка заменяется системой трех уравнений в частных производных первого порядка благодаря введению новых неизвестных. Эти неизвестные вводятся так же, как и при решении обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. Далее строятся конечно-разностные аналоги уравнений в частных производных первого порядка и проводится линеаризация по Ньютону. В результате получается система линейных алгебраических уравнений с блочной трехдиагональной матрицей, блоки которой имеют размер 3X3. Эта система уравнений решается матричной прогонкой (блочным методом исключения). При аналогичной конечно-разностной аппроксимации уравнения энергии также получается система уравнений с блочной трехдиагональной матрицей, но с блоками размера 2X2.

Мы не будем здесь описывать подробно применение блочного метода Келлера к решению уравнений пограничного слоя, так как все необходимые детали можно найти в работе [Cebeci, Smith, 1974]. Вместо этого мы покажем, как можно построить модифицированную блочную разностную схему. Для решения получающейся в этом случае системы уравнений достаточно воспользоваться модифицированной прогонкой, уже описанной в этой главе при обсуждении метода Дэвиса совместного решения уравнений неразрывности и движения по неявной схеме. По



Рис. 7.5. Разностная сетка для модифицированного блочного метода.

Для сжимаемых течений уравнения движения и энергии могут быть записаны в общем виде (7.5). Для прямоугольной системы координат в этом случае имеем

где Л = + А/. Уравнение неразрывности можно записать в виде

+ = 0. (7.42)

Нумерация узлов сетки и обозначение шагов показаны на рис. 7.5. Обозначим

Цдф/ду) = д, D = S + --pv-,

тогда уравнение (7.41) можно записать в виде

ридф/дх = 0. (7.43)

Конечно-разностный аналог этого уравнения запишем для центра ячейки («блока»):

Используя определение величины qtHh

имеющимся в литературе данным [Blottner, 1975а; Wornom, 1977] применение при решении уравнений пограничного слоя модифицированного блочного метода требует примерно в два раза меньших затрат машинного времени, чем применение стандартного блочного метода Келлера.

п п+1



= S/-I/2 - (рУ)/-1/2 -д--h -дГ-

-2ЗД" . (7.46)

Аналогично можно написать конечно-разностный аналог дифференциального уравнения в точке (п + 1/2, /+ 1/2) и исключить величину д:11 из этого уравнения при помощи определения величины glljl- В результате найдем, что

(Р<: 2 + (Р<-и/2 фПи-Фпт

rt+l/2 rt+1/2

/+1/2 - (Pt)/+U2 -T;--V

=/ + 1

+ 22-(др;;;;;).--(7.47)

Уравнения (7.46) и (7.47) можно скомбинировать так, чтобы исключить qf-f. Для этого достаточно умножить уравнение (7.46) на Ду/, уравнение (7.47) на Ay/+i и сложить два полученных произведения. После замены величин, определенных посредине между узлами, средним значением соответствующих величин в узлах получим выражение, которое можно записать в виде

-щ [(Р)Г + ipu)lll + (ри)"} + {pu)U] X /1+1

х{ФГ + <1>П1-Ф1-Фи)-\-

п + \

X (Ф1+1 + - ф?+1 - ФТ) +

+ 4- + (Р5)Г + (ро)/+1 + (РЗ)"] X

МОЖНО ИСКЛЮЧИТЬ gll из уравнения (7.44). Тогда получим (ри)"Л/2 + (Р<-1/2 Ф?-т-Фх-112



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110