. (xni+++Ц) (f?tl+fU-1>Г-t>l) jir + mi+Ц+Ц-у) (r -4-0 (7 48)

Систему уравнений (7.48) можно привести к трехдиагональ-ному виду относительно неизвестных но, как всегда при использовании неявных схем, необходимо воспользоваться каким-либо методом для преодоления алгебраической нелинейности, связанной с коэффициентами уравнений. В принципе для этого можно применить любой из уже описанных в п. 7.3.3 методов. Наиболее удобная аппроксимация уравнения неразрывности может зависеть от того, какая процедура используется для линеаризации уравнения движения. В настоящее время чаще всего используется линеаризация по Ньютону при совместном решении уравнений неразрывности и движения [Blottner, 1975а]. В этом случае конечно-разностный аналог уравнения неразрывности можно записать в виде

(рц);+ -f (рц)у+/ ~ (рц)у - (риУ1

щ

в уравнение движения входят величины (p5)jf+[, {pv)1\

(рб)/-/. Для того чтобы воспользоваться модифицированной прогонкой, можно записать уравнение неразрывности (7.49) между слоями с номерами / и /-f 1, а потом с помощью вычитания исключить (р5)*+} из уравнения движения. После линеаризации по Ньютону, которая проводится аналогично тому, как она проводилась в п. 7.3.3 для полностью неявной схемы Дэвиса, уравнения неразрывности и движения можно решить совместно с методом модифицированной прогонки. Уравнение энергии обычно решается отдельно, и все параметры, характеризующие свойства газа (включая турбулентную вязкость), изменяются итерационно в соответствии с нашими желаниями или ограничениями, накладываемыми требованиями к точности получаемых результатов.

При использовании блочного метода Келлера или модифицированного блочного метода напряжение трения на стенке и тепловой поток обычно определяются по вычисленному значению q на стенке (при / = 1). В случае модифицированного блочного метода это делается после того, как значения , 5 и р уже найдены. Выражение для +2 можно получить, записав уравнения (7.44) и (7.45) для / = 2 и исключив q простой подстановкой.

7.3.6. Другие методы

Проведенные в относительно небольшом объеме исследования показали, что явный метод переменных направлений Бараката и Кларка можно использовать для решения уравнений пограничного слоя (R. G. Hindman, S. S. Hwang - частные сообщения, 1975). Результаты этих исследований показали, что явный метод переменных направлений по точности и затратам- машинного времени близок к неявным методам, обычно используемым для расчета пограничных слоев. Для расчета пограничного слоя применялись и схемы более высокого порядка (вплоть до четвертого). Критический анализ некоторых из этих схем можно найти в работе [Wornom, 1977]. Здесь стоит отметить, что точность результатов, получаемых по схемам низкого порядка точности, можно повысить, если воспользоваться экстраполяцией по Ричардсону (см. [Ralston, 1965; Cebeci, Smith, 1974]).

Мы надеемся, что в этом разделе описаны все разностные схемы, которые чаще всего используются для расчета двумерных и осесимметричных пограничных слоев При этом мы не пытались подробно описать все известные численные методы.

7.3.7. Замечание о преобразовании координат в случае пограничного слоя

В общем виде вопросы, связанные с преобразованием координат, рассмотрены в гл. 5. В данной главе основное внимание уделяется именно разностным схемам, поэтому, для того чтобы проиллюстрировать их на самых простых примерах, все уравнения записываются в прямоугольной декартовой системе координат, т. е. в «физических координатах». Однако надо указать, что имеются определенные преимущества в применении преобразо-

В книге не описана схема Петухова четвертого порядка точности, которая успешно используется многими советскими исследователями для расчета пограничного слоя (см. [24] в списке дополнительной литературы на стр. 712). Метод Петухова во многом похож на блочный метод Келлера, но имеет более высокий порядок точности. - Прим. перев.

Уравнение неразрывности

Уравнение движения

дЧ ду

(7.50)

(7.51)

Наиболее важным в описываемом преобразовании координат является введение переменной

После этого возможно несколько вариантов, но наиболее общепринятым является преобразование х = х (по оси х растяжение не проводится) я F = u/Ue. Используя правила дифференцирования, получим

дх д

dUe

2Ue dx 1/2 д

вания координат или в растяжении координат до того, как производится построение конечно-разностного аналога дифференциального уравнения. Многие описанные в литературе методы расчета пограничного слоя используют преобразование координат.

Основными целями такого преобразования координат являются обычно получение системы координат, в которой толщина пограничного слоя, насколько это возможно, близка к константе, и исключение особенности в уравнениях, которая возникает на передней кромке или в передней критической точке. К сожалению, для сложных турбулентных течений оптимальное преобразование координат, обеспечивающее постоянство толщины пограничного слоя в преобразованных переменных, пока не найдено, хотя предложенное в работе [Carter et al., 1980] преобразование выглядит обнадеживающим.

Обычно применяют преобразование координат, связанное с переходом к переменной г, которая используется для получения автомодельного решения Блазиуса уравнений ламинарного пограничного слоя. Приведем пример такого преобразования переменных для случая ламинарного пограничного слоя с постоянным коэффициентом вязкости. Итак рассмотрим следующие уравнения: