X dUe

Ue dx

При л: = О производные в продольном направлении из преобразованных уравнений исчезают и остается система двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Обычно эти уравнения решают, используя слегка измененную версию маршевого алгоритма, который применяется для расчета течения во всей оставшейся области, т. е. при лс > 0. Вместо этого можно, конечно, использовать специальные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

В новой системе координат особенность при л: = О отсутствует, так как вызывавшие затруднение производные в продольном направлении исключены. Фактически в случае ламинарного обтекания плоской пластины решение при л: = О является просто хорошо известным автомодельным решением Бла-зиуса. Поэтому естественно, что в случае течения с нулевым градиентом давления решение при л: > О, полученное маршевым методом, будет повторять вниз по потоку то же самое решение и толщина пограничного слоя останется постоянной. Если градиент давления или граничные условия на стенке таковы, что решение уравнений пограничного слоя не является автомодельным, то толщина пограничного слоя будет меняться в направлении потока. Можно ожидать, что если ламинарное течение близко к автомодельному, то решение уравнений в преобразованных координатах обеспечивает более высокую точность результатов вблизи передней кромки, чем решение уравнений, записанных в физических переменных. Это связано с тем, что первый подход позволяет во всех сечениях использовать примерно одинаковое число узлов поперек слоя. В случае турбулентных течений обычно наблюдается значительный рост толщины пограничного слоя даже в указанных выше преобразованных переменных. Для внешних ламинарных пограничных слоев

Заменив в соответствии с приведенными соотношениями производные по л: и у в уравнениях (7.50) и (7.51) и введя неизвестную F, получим уравнения неразрывности и движения в преобразованной системе координат. Уравнение движения

Уравнение неразрывности Здесь

МЫ рекомендуем использовать преобразование переменных типа преобразования подобия. В случае турбулентных течений преимущества предложенных в настоящее время преобразований не столь очевидны.

7.3.8. Специальные вопросы, связанные с расчетом турбулентных течений

Если для расчета турбулентных пограничных слоев используются модели, связанные с вычислением турбулентной вязкости во всем течении, то для получения достаточно точных результатов узлы сетки "должны быть расположены внутри вязкого подслоя, т. е. при у+ 4.0 для несжимаемых течений и при у+ 1.0 или 2.0 в тех случаях, когда приходится решать и уравнение энергии. Если по нормальной координате к поверхности использовать сетку с равномерным шагом, то для типичного расчета пограничного слоя при умеренном числе Рейнольдса потребуется сетка с несколькими тысячами узлов по координате, нормальной к обтекаемой поверхности. Уже по одной этой причине стоит рассмотреть пути уменьшения необходимого числа узлов сетки по толщине пограничного слоя. Успешно используемые для этого подходы можно разделить на три категории - использование закона стенки, использование сетки с неравномерным шагом и преобразование координат.

Использование закона стенки. Мы уже отмечали (см. рис. 5.7), что для многих пристенных турбулентных пограничных слоев течение во внутренней части слоя носит универсальный "характер, который описывается логарифмическим законом стенки. По сути эта внутренняя часть слоя является областью, в которой конвективный перенос играет незначительную роль. Грубо говоря, закон стенки можно рассматривать как решение уравнения движения пограничного слоя, полученное при описании турбулентности по модели пути смешения Прандтля в предположении, что конвективные члены и градиент давления не существенны. Аналогично для многих течений наблюдается почти универсальный характер распределения температуры, и закон стенки можно использовать для задания граничных условий на внутренней границе при решении уравнения энергии.

Итак, при применении закона стенки уравнения пограничного слоя решаются с использованием модели турбулентности лишь во внешней части слоя, при этом используется относительно грубая сетка. Решение в пристенной области описывается на основе закона стенки, который фактически является приближенным решением для пристенной области. Обычно предполагают, что закон стенки выполняется при 30 < у+ < 200, и первый от стенки

узел расчетной сетки располагают в этом интервале. Граничные условия для всех описываемых уравнениями переноса неизвестных (и, Г, й, 8 и т. д.) определяются в этом узле на основе закона стенки. Реализовать такой подход можно по-разному, а детали зависят от выбранной модели турбулентности и используемой разностной схемы. Этот подход хорошо развит для (/г -е)-модели турбулентности, а рекомендуемые в этом случае функции для описания закона стенки можно найти в работе [Launder, Spalding, 1974].

Как и сами модели турбулентности, функции, входящие в закон стенки, нуждаются в модификации для точного описания эффектов, связанных, например, с вдувом или отсосом, шероховатостью обтекаемой поверхности и т. д. Однако их использование позволяет избежать необходимости располагать у стенки большое число близко расположенных точек. По-видимому, использование закона стенки не является необходимым и даже желательным для большинства погранслойных течений, однако при расчете более сложных течений, описываемых в рамках непо-гранслойных (эллиптических) уравнений Рейнольдса, применение закона стенки может оказаться куда более привлекательным, так как интересующие нас процессы могут в этом случае происходить довольно далеко от стенки. Вполне возможно, что в ближайшие годы, когда появятся еще более быстродействующие компьютеры, будут предприняты попытки описать турбулентные течения путем решения нестационарных уравнений Навье - Стокса (не вводя в них каких-либо моделей турбулентности). Не исключено, что первые такие расчеты будут связаны с использованием той или иной формы закона стенки для приближенного описания решения в пристенной области, где размер вихрей минимален.

Использование сеток с неравномерным шагом. Практически все без исключения расчеты турбулентных пограничных слоев, в которых решение конечно-разностным методом находилось вплоть до стенки, проводились либо с использованием неравномерных сеток, либо, что часто эквивалентно, с использованием преобразования координат. При этом применялись различные неравномерные сетки. В работе Плетчера [Pletcher, 1969] в нескольких ближайших к стенке узлах отношение шага сетки Ау к величине Ду+ (определенной как Ay{rw/p)/vw) приближенно равнялось единице, а потом приблизительно удваивалось через каждые несколько точек до тех пор, пока во внешней части пограничного слоя величина Ау+ не достигала 100.

Другая широко используемая [Cebeci, Smith, 1974] и хорошо работающая схема основана на предположении о том, что отно-