436 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя шение двух последовательных шагов сетки постоянно:

при использовании такой схемы с постоянным отношением шагов шаги сетки при движении от стенки возрастают на один и тот же процент. В результате шаги сетки растут в геометрической прогрессии. Для турбулентных течений значение числа К лежит обычно между 1 и 2. Для схемы с постоянным отношением шагов имеем

А; = 7(-Чу1 и j = Aj/, . (7.55)

Точность, а иногда и устойчивость некоторых разностных схем оказываются сильно зависящими от выбранного значения /С. В большинстве случаев удовлетворительные результаты получаются при /С 1.15. В случае типичного расчета с Ау « 1.5, /С =1.04, у+3000 из уравнений (7.54) и (7.55) следует, что по нормали к стенке необходимо использовать примерно 113 узлов сетки.

При обобщении разностной схемы на случай переменной сетки необходимо заново определить погрешность аппроксимации, так как в этом случае формальная погрешность аппроксимации обычно ухудшается. Например, при использовании рекомендованной выше аппроксимации для поперечной производной от сдвиговых напряжений получим

ду \ ду )i ~ Ау + Л£/ \f+m ty f-il2 iy J "Г

+ О (Ду+ - Ау ) + О (Ау+ + Ау.)2.

Это выражение имеет на первый взгляд первый порядок аппроксимации, если только мы не сможем показать, что для некоторой конкретной разностной схемы О (Ау+ - AyJ) = О (Ау) Блоттнер [Blottner, 1974] показал, что если в схеме Кранка - Николсона воспользоваться приведенной выше аппроксимацией производных, то при использовании сетки с постоянным отношением шагов разностная схема имеет локально второй порядок точности. Для этого Блоттнер интерпретировал схему с постоянным отношением шагов как преобразование координат (см. ниже). Свои выводы он подтвердил расчетами, которые показали, что при измельчении сетки его схема ведет себя так, как если бы погрешность аппроксимации имела второй порядок.

Использование преобразования координат. Общие вопросы, связанные с преобразованием координат, обсуждались в гл. 5. Здесь мы рассмотрим преобразования координат, применяемые для получения в физической плоскости сетки с неравномерным шагом. Хорошим примером, иллюстрирующим этот подход, является преобразование 1 § 5.6 (см. также рис. 5.8). Такое преобразование позволяет использовать стандартные сетки с постоянным шагом при конечно-разностном решении уравнений в преобразованных координатах. Следовательно, сгущение точек вблизи стенки может быть достигнуто без ухудшения формального порядка погрешности аппроксимации. С другой стороны, уравнения в преобразованных переменных принимают более сложный вид и в них всегда появляются дополнительные переменные коэффициенты. Действительная величина погрешности аппроксимации будет зависеть от вида новых коэффициентов.

Преобразования 1 и 2 § 5.6 гл. 5 являются достаточно представительными примерами преобразований, которые можно использовать для расчета пограничного слоя.

7.3.9. Примеры применения методов расчета пограничного слоя

Для ламинарных течений в тех случаях, когда теория пограничного слоя справедлива, легко можно сравнить результаты конечно-разностных расчетов с результатами, полученными для некоторых очень важных течений на основе других более точных теорий. Обычно даже в тех случаях, когда выбору- размера шага уделяется не слишком большое внимание, достигается согласование в пределах 1-2 % с несколькими стандартными точными решениями. На рис. 7.6 сопоставлены профили скорости, рассчитанные по разностной схеме типа Дюфорта - Франкела [Pletcher, 1971] с аналитическими данными ван Дриста [Van Driest, 1952] для ламинарного течения с числом Маха 4 и отношением температур Tw/Te = . Сопоставление профилей температуры для этого случая проведено на рис. 7.7. Согласование результатов достаточно хорошее. Этот результат типичен: он показывает, что можно ожидать при расчете ламинарных пограничных слоев.

Совсем другая ситуация возникает при расчете турбулентных течений. Введение модели турбулентности усложняет расчет, а его результаты становятся более неопределенными. Модели турбулентности можно подобрать так, чтобы получать неплохие результаты для некоторого ограниченного класса течений, однако при расчете других течений с условиями, на которые эта модель не распространяется, часто согласование резуль-

6.0 8.0

10.0 12.0

Рис. 7.6. Сравиеиие профилей скорости для ламинарногопограничного слоя сжимаемого газа. Сплошной линией показаны результаты расчета методом Дюфорта - Франкела [Pletcher, 1971]; О теория ван Дриста; cRej = 0»57 (ван Дрист); c/Re = 0.56 (Дюфорт-Франкел).

Mg=4.0 Pr = 0.75

Рис. 7.7. Сравнение профилей температуры для ламинарного пограничного слоя сжимаемого газа. Сплошной линией показаны результаты расчета мето-дом Дюфорта - Франкела [Pletcher, 1971]; О теория ван Дриста; St д/НеГ = = 0.348 (ван Дрист); St VReI= 0.348 (Дюфорт-Франкел).