) Эта схема добавлена переводчиком, так как она широко используется советскими исследователями.- Прим. перев.

тику. Поэтому надо решить несколько учебных задач, используя описанные разностные схемы, для того чтобы понять изложенные здесь основные концепции и связанные с ними проблемы. Так же как инженера вряд ли можно считать экспериментатором до тех пор, пока он не провел несколько экспериментов, нельзя считать специалистом в области вычислительной гидродинамики того, кто не провел несколько расчетов.

Какая разностная схема является наилучшей для расчета пограничного слоя? Такой вопрос на данном этапе представляется логичным, но мы должны иметь критерий, в соответствии с которым можно определить, что схема действительно наилучшая. Все согласованные разностные схемы позволяют получать численные результаты с любой требуемой точностью, если только воспользоваться достаточно мелкой сеткой. Так как максимально допустимая точность нас больше не волнует, то наиболее важными становятся затраты машинного времени и в меньшей степени простота программирования. При обсуждении этого вопроса мы предполагаем, что пользователю необходимо понять все связанные с применением метода алгебраические операции. Мы будем включать время и силы, необходимые для понимания данного алгоритма, в затрачиваемые на программирование усилия. Тогда усилия, затрачиваемые на программирование, будут определяться не числом операторов в программе для ЭВМ, а алгебраической сложностью шагов алгоритма и трудностью следования этим шагам для начинающего.

Анализ научно-технической литературы за последние 10 лет показывает, что все разностные схемы, приведенные в табл. 7.1, с успехом применялись для расчета двумерных и осесимметрич-

Таблица 7.1. Рекомендуемые конечно-разностные схемы расчета пограничного слоя. Порядок расположения схем определяется сложностью их программной реализации

1. Схема Дюфорта - Франкела

2. Полностью неявная схема (в том числе вариант этой схемы, предложенный Патанкаром и Сполдингом)

3. Неявная схема Кранка - Николсона

4. Полностью неявная схема при совместном решении уравнений неразрывности и движения

5. Неявная схема Кранка - Николсона при совместном решении уравнений неразрывности и движения

6. Модифицированная блочная схема

7. Блочная схема Келлера

8. Схема Петухова >

НЫХ пограничных слоев как при ламинарном, так и при турбулентном течениях. Все эти схемы мы рекомендуем к использованию, так как с их помощью были получены довольно хорошие результаты.

Характерное время расчета по любой из перечисленных выше схем невелико и составляет на современных ЭВМ всего лишь несколько секунд. Отдельные особенности, связанные с использованием этих схем, можно найти в работах, которые указывались нами при описании разностных схем. Нам известно лишь несколько работ, в которых проведено сопоставление времен расчета пограничного слоя по различным разностным схемам. В работе Блоттнера [Blottner, 1975а] показано, что при сопоставимой точности затраты машинного, времени, необходимые для расчета пограничного слоя по схеме Кранка - Николсона (при совместном решении уравнений неразрывности и движения) и модифицированным блочным методом, примерно одинаковы. В той же работе продемонстрировано, что время расчета на ЭВМ блочным методом Келлера в два-три раза больше времени расчета модифицированным блочным методом (при сопоставимой точности).

Для начинающего программиста, который хочет составить достаточно общую программу расчета пограничного слоя, наиболее естественным было бы начать с полностью неявной схемы. Эта схема имеет лишь первый порядок точности в направлении маршевой координаты, но второй порядок точности, по-видимому, не является существенным для большинства проводимых расчетов пограничного слоя. Это, возможно, отчасти объясняется тем, что члены порядка О (Але) в выражении для погрешности аппроксимации обычно включают вторые производные по продольной координате, которые в тех случаях, когда приближение пограничного слоя справедливо, невелики. Если второй порядок точности по маршевой координате желателен, то его легко достичь при незначительных изменениях в алгоритме. Для этого достаточно либо воспользоваться при аппроксимации производных по маршевой координате со вторым порядком точности трехточечным шаблоном, либо перейти к схеме Кранка - Николсона. Различные способы линеаризации уравнений логично выбирать в порядке сложности их программной реализации - запаздывающие коэффициенты, экстраполяция, линеаризация по Ньютону при совместном решении уравнений неразрывности и движения. Если рассматривать метод запаздывающих коэффициентов как стандартный, то было бы полезно запрограммировать один из двух последних более точных (при одном и том же шаге сетки) методов, чтобы получить дополнительный способ контроля.

7.4.1. Введение

До сих пор мы рассматривали лишь методы решения уравнений пограничного слоя в том случае, когда заданы стандартные граничные условия, приведенные в § 5.3. Такие методы решения уравнений пограничного слоя называют прямыми. Обратными называют методы расчета пограничного слоя при задании отличных от стандартных граничных условий. Обычно при использовании обратных методов вместо условия на внешней границе пограничного слоя lim и{х, у) = Ue{x) задается толщина

у->оо

вытеснения или трение на стенке, которым решение должно удовлетворять, а градиент давления (или Ue{x)) определяется в процессе решения. Подчеркнем, что отличие прямых и обратных методов связано именно с заданием граничных условий. Поэтому, по-видимому, правильно было бы говорить о прямой и обратной задачах, а не методах. Однако мы будем следовать принятой терминологии и ссылаться на методы решения как на прямые и обратные.

Обратные методы - это не просто альтернативный подход к решению уравнений пограничного слоя. Успешное развитие обратных методов расчета позволило расширить область применения приближения пограничного слоя.

Очевидно, что можно найти некоторые инженерные приложения, в которых желательно рассчитать давление на границе пограничного слоя, обеспечивающее заданное распределение толщины вытеснения или трения на стенках. Это явилось одной из причин создания обратных методов расчета пограничного слоя. Но, возможно, наиболее интересное применение обратных методов связано с расчетом отрывных течений. Долгое время предполагали, что в случае отрывных течений необходимо решать полную систему уравнений Навье -Стокса. Поэтому любое предположение о том, что эти очень важные для приложений течения могут быть описаны в рамках куда более простой математической модели, вызывало большой интерес. Вследствие этого наше описание обратных методов ограничится в основном их применением к расчету отрывных течений. Одним из наиболее интересных свойств обратных методов является то, что они позволяют устранить особенность Гольдштейна [Goldstein, 1948], возникающую в точке отрыва.

§ 7.4. Обратные методы, отрывные течения и вязко-невязкое взаимодействие