НИЯ, полученное при заданном Ue. При использовании такого подхода первые два значения толщины вытеснения необходимо задать, а всего требуется обычно три-четыре итерации [Pletcher, 1978].

Метод секущих можно рассматривать как обобщение метода Ньютона нахождения корней уравнения F(x) = Q (этот метод часто называют также методом Ньютона - Рафсона - Канторовича). При использовании метода Ньютона мы раскладываем функцию Р(х) в ряд Тейлора в окрестности выбранной точки Хп\

F{x + Ax)F{Xr,) + F{Xr,)Ax+ ... .

Мы обрываем этот ряд на члене, содержащем первую производную, и находим величину Дд: из условия F{xn + Ах)=0, При использовании метода Ньютона в этом случае имеем

,1 -= = - . (7.62)

Следовательно, задав начальное значение Хп, мы можем уточнить его в соответствии с соотношением (7.62). Этот процесс продолжается последовательно до тех пор, пока не выполнится

условие I {Хп+1 - Хп)\< Б.

Метод Ньютона является простой и эффективной процедурой. Однако для его использования необходимо задать функцию F{x) аналитически. Если этого сделать нельзя, то разумным представляется использовать обобщение метода Ньютона, называемое методом секущих.

В методе секущих вместо производной используется угол наклона прямой, проходящей через две точки

(-)" Хп-Хп-г-•

Если два начальных приближения для х заданы, то третье приближенное значение корня уравнения определяется по формуле

= - - -2)

При применении метода секущих для расчета обратной задачи пограничного слоя Хп надо заменить на Ue,n, а = 6* -вс-Описанный итерационный процесс схематически показан на рис. 7.13.

После окончания итерационного процесса поиска величины Ue(x), обеспечивающего получение заданного значения толщины вытеснения б*(х), так же как и при решении параболических уравнений, можно переходить к решению уравнений в расположенном ниже по потоку сечении. Простота обратного метода А очевидна. Если пренебречь небольшими изменениями связан-

Рис. 7.13. Определение Ue(x) методом секущих.

таких осцилляции можно избежать при совместном решении уравнений движения и неразрывности. Они не возникают при решении уравнений описанным ниже методом.

Обратный метод В. Опишем метод, предложенный Квоном и Плетчером [Kwon, Pletcher, 1981]. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы в каждом сечении заменить все заданные уравнения и граничные условия одной одновременно решаемой системой алгебраических уравнений. Для этого удобно ввести функцию г). Тогда

~ ду

-If.

а законы сохранения массы и импульса запишутся в виде

ди

дх дх ду где т = ii ди/ду, д = -f ja.

due I 1 дх dx 9 ду

(7.64) (7.65)

ными с использованием приближения Флюгге-Лотц, то можно решать разностные уравнения точно так же, как они решались прямым методом расчета пограничного слоя. Описанный метод оказывается вполне удовлетворительным [Pletcher, 1978; Kwon, Pletcher, 1979], однако если он применяется для расчета отрывных течений, то в рассчитанном распределении напряжения трения на стенке появляются небольшие осцилляции. Появления

Верхний предел интегрирования можно заменить значением у на внешней границе пограничного слоя уе, так как при у> Уе подынтегральное выражение равно нулю. Умножив на Ue, получим

Выразив и через функцию тока, найдем, что интеграл равен г)е, и после несложных преобразований придем к соотношению (7.67). Если приведенные ниже разностные уравнения решаются прямым методом, то на внешней границе вместо условия (7.67) надо задать обычное граничное условие (7.61).

Построим сначала конечно-разностные аналоги уравнений (7.64) и (7.65). Они имеют вид

..+1 L h+l A+l

(7.68)

2 Ar/

= + P(A., + AU ~Ж-- A,, J •

(7.69)

Здесь C = 1 при > 0 и C = 0 при W] < 0, a

p сл: •

Теперь, следуя описанной в п. 7.3.3 процедуре, проведем линеаризацию по Ньютону нелинейных конвективных членов. Пусть гГ = йГ + 6« и a);f+=ai)/+-f 6,1,. Знаком л обозначено полученное на предыдущей итерации значение неизвестной. Величины 6w и 6,1, обозначают изменение неизвестных на двух

Граничные условия имеют вид

и{Ху 0) = г)(л:, 0)==0, (7.66)

Ф. = ЛУ.-б*М), (7.67)

где б*(х)-заданная функция. Граничное условие для ipe следует из определения толщины вытеснения