Ах р{Ау+Ау ) \ Ау Дг/ /

Приведенная выше система алгебраических уравнений аналогична полученной в § 7.3 при применении метода Дэвиса. Последняя решалась модифицированной прогонкой. Система уравнений (7.70) и (7.71) является системой уравнений с блочной трехдиагональной матрицей, блоки которой имеют размер 2X2. На каждом шаге по маршевой координате приходится решать систему 2(Л/)-2 уравнений с 2(Л/) -2 неизвестными, где Л/"/ -число точек поперек слоя, включая граничные точки. Единственное различие между системами уравнений, получающихся в рассматриваемом случае и при использовании метода Дэвиса, состоит в том, что в правой части уравнения (7.71) появляется новый член Hj%K При решении обратной задачи безразмерный градиент давления х"- является неизвестной величиной. Отличаются также условия на внешней границе пограничного слоя. Два этих фактора препятствуют применению описанного в § 7.3 метода модифицированной прогонки. Однако блоки, расположенные под главной диагональю, можно исключить, а для определения неизвестных получить рекуррентную формулу обратной подстановки [Kwon, Pletcher, 1981]. До проведения обратной подстановки необходимо найти параметр х"" при помощи описанной ниже специальной процедуры.

последовательных итерациях, т. е. 6 = /"- z, где ф - произвольная функция. В результате получим систему разностных уравнений, которую можно записать в виде

«+1 , („,,+1 ц о, (7.70)

Ви«+/ + 0/««+ + Ли7+>+ ==Я5С"+ + С. (7.71)

Здесь

Ад; {Ау + Ау ) р Ау .{Ау + Ау ) • Ах Ах(Ау+Ау )

Для определения неизвестных можно воспользоваться соотношениями

и-- = + я;х"+ + с;, (7.72)

г)«+1 = -f d;x+> + г;, (7.73)

если коэффициенты Лу, Яу, Су, By, D, £у и величины и х"

уже известны. Указанные коэффициенты определяются соотношениями

c-Бc; ,-£(6c; ,+ £; ,) W- Rl •

- Б,я; 1 - Е, {b,H] ,+ R:=D, + (fi; + Efi,) л; , + +b,).

Вследствие заданных на внутренней границе (/=1) граничных условий величины Wj- и ifjf+i равны нулю, следовательно, равны нулю и коэффициенты А\, В[, С[, D[, Е\у Ну Остальные коэффициенты можно вычислить последовательно, продвигаясь от / ~ 2 к внешней границе (/ = NJ).

Безразмерный градиент давления х- определяется из одновременного решения системы уравнений, состоящей из уравнений (7.72) и (7.73) при i = NJ-1 и граничных условий. При j = N1 -I уравнения (7.72) и (7.73) принимают вид

= а/-,«Г + + Cj-i> (7.74)

r/jl., = 5лг/-."5Г + W-iX" + (7.75)

Выпишем также граничные условия

5&Г = «)(лг/-6*"-) (7.76)

Х"+» = 4- [{2й%у - u4,j) - (й«+>)2]. (7.77)

456 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного поля Уравнение (7.68) перепишем в виде

%V == ПУ-1 + % («ХгГ + (7.78)

Решив уравнения (7.74) - (7.78) относительно получим

Найдя безразмерный градиент давления %+\ можно из уравнений (7.74) - (7.78) определить и скорость aJJ на внешней границе пограничного слоя:

«Г = ТГХ"++77. (7.80)

После этого величина ijjJJ; определяется непосредственно из уравнения (7.76). Теперь можно воспользоваться соотношениями (7.72) и (7.73) для проведения обратной подстановки, т. е. последовательного вычисления неизвестных uj" и от внешней границы к стенке. Так как применяется линеаризация по Ньютону, то систему уравнений надо решать итерационно, изменяя от итерации к итерации значения величин й/" и ф/"*"-На каждом шаге по маршевой координате итерационный процесс продолжается до тех пор, пока разность значений неизвестных и и па двух последовательных итерациях не окажется меньше некоторой наперед заданной величины. При расчете на каждом новом шаге по продольной координате предполагается, что й!1=и} и \()/" =г5/. В тех случаях, когда этот метод применялся, двух-трех итераций обычно оказывалось достаточно для того, чтобы максимальная относительная погрешность {Аф/ф) стала меньше, чем 5-10-1

В работах Цебеци [Cebeci, 1976] и Картера [Carter, 1978] описаны другие конечно-разностные обратные методы расчета пограничного слоя. Эти методы также основаны на использовании приближения Флюгге-Лотц и на совместном решении уравнений неразрывности и движения.