Второй член в уравнении движения (7.6) обведен прямоугольником, составленным из штриховых линий, по двум причинам. Во-первых, мы хотели показать, что различие условий устойчивости уравнения (7.6) и уравнения теплопроводности связано в основном с этим членом, а во-вторых, ниже мы рассмотрим другую возможную аппроксимацию этого члена.

Учитывая, что при г/ = О с; = О, получаем

.(у)-и\-{и. + .Уу. ,7.8)

в случае рассматриваемой задачи об обтекании плоской пластины предположим, что при л: = 0 (на передней кромке пластины) и} = и всюду, кроме стенки, гдеггГ = 0. Необходимое для расчета по явной схеме начальное распределение величины

можно теперь найти, интегрируя численно правую часть соотношения (7.8). Если для аппроксимации производной ди/ду в первом от стенки узле разностной сетки воспользоваться, как обычно, центральными разностями, то получим, что vJ = 2v/Ay во всех узлах, кроме лежащего на стенке, где v = 0. На практике предположение, что в начальном сечении vf = 0, также приводит к удовлетворительным результатам.

Зная начальное распределение и из уравнения движения (7.6) можно определить по явной схеме иК Расчет обычно начинают от стенки и движутся от нее наружу до тех пор, пока не выполнится условие гу+уг+ = 1е « 0.9995; т. е. используя асимптотическое граничное условие, мы в ходе решения находим положение внешней границы пограничного слоя. Значения величины Uy" можно теперь получить из уравнения (7.7), начиная вычисления с ближайшего к стенке узла разностной сетки и продвигаясь последовательно к внешней границе. Конечно-разностная формулировка уравнения неразрывности и описанный метод его решения эквивалентны интегрированию уравнения неразрывности по формуле трапеций для вычисления

Условия устойчивости этого метода имеют вид

и выражением

/ J при v->Q

при v-<Q.

Тогда условие устойчивости примет вид

дх< !

2v/[r/«(Ar/)2J+ v\{uly) •

Для такой аппроксимации величины vdu/dy погрешность аппроксимации ухудшается и составляет лишь О (Ajc) + О (At/).

Отметим, что для обеих рассмотренных явных схем условия устойчивости определяются локальными значениями составляющих скорости и я V. Это характерно для уравнений с переменными коэффициентами. Спектральный критерий устойчивости Неймана позволяет неплохо оценить устойчивость методов расчета уравнений пограничного слоя, если входящие в уравнения коэффициенты и п v считать локально постоянными. Особо необходимо остановиться на интерпретации коэффициента турбулентной вязкости \1т при анализе устойчивости разностных схем. При использовании некоторых моделей турбулентности в выражение для \кт входят производные, разностная аппроксимация которых может вызвать неустойчивость алгоритма. При анализе устойчивости коэффициент турбулентной вязкости \кт можно считать либо заданной функцией, подбирая в этом случае методом проб и ошибок конечно-разностную аппроксимацию fir, обеспечивающую устойчивость алгоритма, либо, выразив \лт через основные гидродинамические неизвестные, попытаться определить условие устойчивости алгоритма обычными мето- дами.

7.3.3. Метод Кранка Николсона и полностью неявный метод

Характерные особенности большинства неявных методов можно продемонстрировать на примере следующей конечно-разностной аппроксимации записанных в физических координатах уравнений сжимаемого ламинарного пограничного слоя на сетке с At/= const:

Другая запись явной схемы. Для того чтобы устойчивость разностной схемы определялась лишь одним неравенством, обведенный прямоугольником член уравнения (7.6) (конечно-разностная аппроксимация vdu/dy) можно заменить выражением

Уравнение движения

.[9 (рУ+<+) + (1 - 9) р;«у)] {иГ - 4) I

, е(рГЧ)№.-<-) + (1-9)(ру)К.-< .) [е (рГ"Г) + (1 - 9) (рХ)] («Г - ие) .

Да: +

+ (1 - в) [j/\./2 («/%. - «/") - 1?-U2 («? - «/"-.)]}• (7.9)

Здесь 0 - весовой коэффициент.

Если 6 = 0, получается явный метод. Для определения погрешности аппроксимации удобнее всего проводить разложение в ряд Тейлора в окрестности точки (п, /). Погрешность аппроксимации равна 0(Ал:)+0(Ау)2; приведенное ранее условие устойчивости Неймана существенно ограничивает шаг по маршевой координате.

Если 0 = 1/2, получается неявный метод Кранка - Николсона. Разложение в ряд Тейлора удобнее всего проводить в точке (п+1/2, /). Если все коэффициенты (и параметры состояния) вычисляются в точке (п+1/2, /), то погрешность аппроксимации равна 0(Ал:)20(Ау)2. Критерий Неймана не накладывает ограничений на устойчивость схемы, но в тех случаях, когда нет диагонального преобладания, могут возникнуть затруднения при решении уравнений прогонкой [Hirsh, Rudy, 1974].

Если 0 = 1, получается полностью неявный метод. Разложение в ряд Тейлора удобнее всего проводить в точке (п + 1, /), погрешность аппроксимации этого метода О (Ал:) + О (At/) (если коэффициенты уравнения и параметры состояния вычисляются в точке (п+ 1, /)). Критерий Неймана не накладывает ограничений на устойчивость разностной схемы, но приведенные в случае 0 = 1/2 замечания о диагональном преобладании остаются.

Отметим, что приведенная выше схема является неявной при 0 > О, а при 01/2 она безусловно устойчива. На практике успешно используют схемы со значениями 0, лежащими между 1/2 и 1. Для полностью неявной и явной схем можно использовать одну и ту же запись уравнения неразрывности.