7.4.4. Вязко-невязкое взаимодействие

При проектировании обтекаемого тела давление на его поверхности определяют обычно из анализа течения невязкого газа. Получающееся при этом распределение скорости течения йевязкого газа используется как граничное условие для расчета пограничного слоя, который проводится для вычисления сопротивления тела, обусловленного вязкостью. Во многих случаях пограничный слой лишь слегка изменяет картину обтекания тела. Можно получить улучшенное решение течения невязкого газа, увеличив физическую толщину обтекаемого тела на толщину вытеснения пограничного слоя. Величина б* определена так, что новое невязкое решение учтет в этом случае вытесняющее воздействие вязкого слоя, который расположен вблизи поверхности обтекаемого тела. Подправленное невязкое распределение скорости можно теперь использовать для получения нового решения в вязкой области течения. В принципе такую процедуру вязко-невязкого взаимодействия можно продолжать итерационно до тех пор, пока изменения параметров не станут достаточно малыми. Однако на практике при переходе от одной итерации к другой для обеспечения сходимости итерационного процесса часто приходится применять нижнюю релаксацию.

К счастью, для большинства течений с присоединенным пограничным слоем изменение параметров потока, обусловленное учетом вязко-невязкого взаимодействия, пренебрежимо мало. Вследствие этого достаточная для инженерных приложений точность достигается при независимом расчете вязкого и невязкого потоков (т. е. при расчете без учета вязко-невязкого взаимодействия). Важным исключением из этого правила являются отрывные течения или течения с отрывными пузырями.

Вытесняющее воздействие области отрыва приводит к существенному локальному изменению распределения давления. Даже при отсутствии отрыва резкое утолщение пограничного слоя под воздействием неблагоприятного градиента давления может настолько изменить локальное распределение давления, что правдоподобное решение уравнений пограничного слоя не удастся получить без учета вытесняющего эффекта пристенного вязкого слоя. При таких условиях довольно часто оказывается, что расчет пограничного слоя, проведенный по невязкому полю скорости, найденному без учета вытесняющего эффекта, предсказывает возникновение отрыва, тогда как в реальном течении отрыв отсутствует.

Часто область, в которой существенны эффекты вязко-невязкого взаимодействия, можно сократить до небольшой окрестности пузыря в распределении толщины вытеснения. Такая ло-

15 д. Андерсон и др. Том 2

Направление -

птот и„ yZ-rrrtTTTrrrrrrrrn-/ Дело

7тД --1 /вытеснения

Отрывный пузырь \ х=х "Т

Поеерхносгпь обтекаемого теле

Рис. 7.14. Локальная область взаимодействия при двумерном обтекании тела.

2. Подходящий для рассматриваемой задачи метод решения уравнений пограничного слоя. Если возможен отрыв потока, то таким методом является обратный метод расчета пограничного слоя.

3. Процедура коррекции результатов, полученных при расчете вязкого и невязкого течений. Она должна обеспечивать стремление изменения параметров к нулю при переходе от одного итерационного цикла к последующему.

В течение ряда лет было предложено множество различных схем расчета вязко-невязкого взаимодействия. У нас нет возможности рассматривать здесь все эти схемы. Вместо этого мы кратко опишем одно приближение, позволяющее в случае течения несжимаемой жидкости рассчитать параметры потока вблизи возникающего на профиле отрывного пузыря. Такое течение схематически показано на рис. 7.14.

В этом случае поправку к невязкому решению, связанную с вытесняющим воздействием пограничного слоя, можно оце-

кальная область взаимодействия схематически показана на рис. 7.14. Описанный в предыдущем п. 7.4.3 обратный метод расчета пограничного слоя особенно хорошо подходит для расчета течений, в которых может возникнуть отрыв потока.

Укажем на наиболее важные элементы процедуры расчета вязко-невязкого взаимодействия.

1. Метод определения поправки к невязкому течению, который позволяет найти распределение давления или скорости по поверхности тела, обусловленное вытесняющим воздействием вязкого слоя. В принципе для этого можно использовать любой метод определения параметров невязкого течения, но часто удается применить более простой метод расчета невязкого течения, основанный на теории малых возмущений.

Xl Х2

Х\ Xi

(7.85)

Первый и третий интегралы вычисляются аналитически, второй интеграл определяется численно, обычно по формуле трапеций. Возникающую при х==х особенность можно выделить, исполь-15*

нить, используя теорию малых возмущений. Пусть Ue, о -касательная составляющая скорости невязкого потока, обтекающего твердое тело (она найдена без учета вязких эффектов). Вытесняющее воздействие вязкого слоя заменим распределенными по поверхности тела источниками и стоками и обозначим через Uc индуцируемую ими скорость на границе тела вытеснения. В этом случае составляющую по оси х скорости на границе тела вытеснения можно представить в виде

Ue = Ueo + tc. (7.81)

Следуя Лайтхиллу [Lighthill, 1958], интенсивность источников и стоков, смещающих линию тока к границе тела вытеснения, определим по формуле

= (7.82)

При небольших значениях толщины вытеснения б* скорость Ыс можно выразить через интеграл

„ /и- 1 Г rf(M*) dx

- оо

Если скорость Uc определяется численно, то обычно предполагают, что сильное взаимодействие происходит лишь в области х\хХ2у показанной на рис. 7.14. Кроме этого, предполагается, что интенсивность источников и стоков, моделирующих вытесняющее воздействие вязкого слоя, стремится к нулю при jc->-±oo. В соответствии с этим величина d{ue8*)/dx обычно вычисляется по результатам расчета пограничного слоя лишь при XI <.х <: Х2, Для вычисления стоящего в правой части уравнения (7.83) интеграла при x<Xi и х> Х2 часто используется экстраполяционная формула [Kwon, Pletcher, 1979]

g(x)==b/x\ (7.84)

Константа b подбирается так, чтобы значения q при Xi и Х2 совпали с полученными из расчета пограничного слоя значениями. Соотношение (7.83) можно теперь переписать в виде