§ 7.5. Методы расчета внутренних течений 7.5.1. Введение

Уравнения тонкого вязкого слоя являются достаточно точной математической моделью и в случае двумерных или осесимметричных внутренних течений. К ним относятся течения, развивающиеся в трубах с прямой осью и в кольцевых каналах, образованных двумя концентрически расположенными трубами с прямой осью. Кроме того, поток в средней части канала прямоугольного сечения с большим относительным удлинением часто близок к двумерному (двумерное течение в плоском канале с параллельными стенками). Перечисленные внутренние течения схематически показаны на рис. 7.17. В этих стандартных случаях поперечное сечение канала не меняется в осевом направлении. Однако модель пограничного слоя является неплохим приближением и для некоторых внутренних течений в каналах с внезапным расширением, хотя при этом в потоке возникают зоны возвратного течения. Эта новая область применения уравнений тонкого вязкого слоя будет подробно рассмотрена в п. 7.5.2.

Конечно-разностные методы особенно полезны для анализа течения на участке от входа в канал до области полностью развитого течения. Гидродинамическое течение называется полностью развитым, если распределение скорости в поперечном сечении канала не меняется в осевом направлении. Обычно идеализацией полностью развитого течения можно пользоваться лишь в тех случаях, когда изменение свойств жидкости в направлении основного потока пренебрежимо мало. Рассматри-

лом наклона тела вытеснения. В качестве граничного условия на нижней по потоку границе часто используют заданное значение толщины вытеснения.

С работой Бургграфа и др. [Burggraf et al., 1979] полезно ознакомиться для того, чтобы понять различие между методами расчета пограничного слоя с учетом вязко-невязкого взаимодействия и численным решением уравнений трехпалубной модели. При очень больших числах Рейнольдса (10) результаты расчетов отрывного сверхзвукового обтекания угла сжатия, проведенных в рамках модели взаимодействующего пограничного слоя и трехпалубной модели, неплохо согласуются между собой. По мере уменьшения числа Рейнольдса отличие результатов расчетов по двум этим моделям становится довольно значительным.

ваемый класс течений позволяет описать и изменение термодинамических параметров. Для этого совместно с уравнениями неразрывности и движения надо решить уравнение энергии, записанное в приближении тонкого вязкого слоя. Если свойства жидкости не меняются, то при заданных в качестве граничных условий постоянной температуре стенки или постоянном тепловом потоке распределение безразмерной температуры поперек канала также может не зависеть от осевой координаты. Вопросы, связанные с анализом тепловых процессов во внутренних течениях, превосходно, описаны в книге Шаха и Лондона [Shah, London, 1978].

При расчете полностью развитых течений метод конечных разностей не играет большой роли, так как в этом случае уравнения в частных производных сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Развитым ламинарным течением в трубе является широко известное течение Га-гена - Пуазейля [White, 1974]. Если для описания турбулентности используется относительно простая мо- Рис. 7.17. Геометрические конфигурации дель, то даже для расчета внутренних течений, в которых расчет полностью развитых турбу- ««зких течений проводится при помощи „ уравнений тонкого вязкого слоя: (а)

лентных течении можно при- iyj, труба, (Ь) кольцевой канал, менять численные методы (с) канал прямоугольного сечения с решения обыкновенных диф- - большим относительным удлинением, ференциальных уравнений.

При наличии теплообмена становится более вероятным, что вследствие изменения свойств жидкости поток не выйдет на режим полностью развитого течения.

В случае внутренних течений для определения числа Рейнольдса в качестве характерной длины обычно используют гидравлический диаметр Он. По определению гидравлический диаметр равен 4Л/Р, где А - площадь поперечного сечения, а Р - периметр смачиваемой поверхности. Для круглой трубы гидравлический диаметр Он совпадает с ее диаметром.

Можно ожидать, что в небольшой области, расположенной у входа в канал, приближение пограничного слоя несправедливо. Эта область аналогична существующей во внешних течениях области с низкими числами Рейнольдса, которая расположена у передней кромки обтекаемого тела. Если при течении в канале число Рейнольдса больше 75, то область пренебрежимо мала. Сопоставление различных численных моделей, используемых для расчета течения на входе в канал при низких числах Рейнольдса, можно найти в работах Макдональда McDonald et al., 1972] и Чилукури и Плетчера [Chilukuri, Pletcher, 1980].

7.5.2. Стратегия расчета внутренних течений

Важным свойством стационарных внутренних течений в каналах является то, что при отсутствии вдува или отсоса через стенку расход жидкости через любое сечение, перпендикулярное оси канала, постоянен. Так как для параболических уравнений начальное распределение скорости и температуры должно быть задано при постановке задачи, то и расход можно рассматривать как заданный. При наличии вдува или отсоса нормальная составляющая скорости на стенку должна быть задана для уравнений пограничного слоя в качестве граничного условия, поэтому и в этом случае изменение расхода вдоль канала можно определить, исходя из постановки задачи. В дальнейшем для простоты ограничимся случаем течения жидкости в канале с непроницаемыми стенками, хотя все методы расчета легко модифицируются на случай вдува или отсоса газа. Имеющаяся дополнительная информация о величине суммарного расхода через канал позволяет при решении задачи определить величину градиента давления. Задание расхода играет ту же роль, что простое соотношение между Ue{x) и dp/dxy которое в случае внешних течений следует из стационарных уравнений Эйлера.

При обычном подходе к анализу пограничного слоя во внешних течениях поток вне пограничного слоя предполагается невязким, а не внешней границе пограничного слоя уравнения Эйлера сводятся к dp/dx =-gUedUe/dx. Именно вследствие этого продольный градиент давления при анализе внешних течений обычно рассматривается как заданный, т. е. он легко вы-