сл: ду

Суммарный расход газа через канал

райЛ = const. (7.90)

В последнем соотношении А - поперечное сечение канала, перпендикулярное к его оси. Кроме того, для определения плотности по температуре и давлению используется уравнение состояния. При m = О приведенные выше уравнения описывают двумерные течения, а при m = 1 - осесимметричные. Если для описания турбулентности воспользоваться гипотезой Буссинеска, то получим

,. = -*-+p.,7r = (-. + )i. (7.92,

числяется по известной скорости Ue{x), либо заранее известен. Для расчета внутренних течений используются лишь уравнения пограничного слоя. Поэтому какая-либо дополнительная информация, связанная с наличием внешнего невязкого потока отсутствует, а условия для и на внешней границе определяются геометрией канала. Так как в общем случае вязкие эффекты могут оказаться существенными во всей области течения, то уравнения Эйлера нельзя использовать для определения градиента давления. Вместо этого градиент давления находится из условия сохранения суммарного расхода через канал. Итак, при расчете стационарных внутренних течений градиент давления должен быть вычислен в процессе реиьения задачи (из условия сохранения суммарного расхода), а не задан заранее, как в случае внешних течений. В этом состоит основное различие численных методов расчета внутренних и внешних течений.

Для двумерных внутренних течений уравнения тонкого вязкого слоя можно записать в следующем виде:

Уравнения движения

ди , ди dp . \ д / т \ (п Qn\

Уравнение энергии ,ис, + 9vc, = -г (- г-с,) + pr„ij + X f. (7.88)

Уравнение неразрывности

(риг") + --(р5г") = 0. (7.89)

В случае течения в круглой трубе члены уравнений (7.87) и (7.88}, описывающие вязкие напряжения и тепловые потоки, имеют особенность при г = 0. Правильное выражение для этих членов можно найти при помощи правила Лопиталя. В результате получим

При расчете внутренних течений конечно-разностная аппроксимация, всех членов уравнений, кроме члена с градиентом давления, проводится так же, как и для внешних течений. Градиент давления во внутренних течениях является неизвестной величиной. Как уже отмечалось выше, он должен быть определен из условия сохранения суммарного расхода. Это можно сделать несколькими способами.

Опишем сначала способ определения градиента давления, применяемый для явных разностных схем. В этом случае конечно-разностный аналог уравнения движения можно представить в виде

«r* = Q? + /?/. (7.94)

где в Q/ и /?/входят лишь уже известные величины. Умножим теперь уравнение (7.94) на плотность р" и проинтегрируем численно полученные уравнения по поперечному сечению канала. Для этого можно воспользоваться либо методом Симпсона, либо правилом трапеций. В результате получим

{ prurdA=m={ prQldA + 5 prRUA. (7.95)

Л • Л Л

До тех пор пока градиент давления не найден, плотность р?" на (п+ 1)-м слое неизвестна. Знак л как раз и указывает на

Если член>1, содержащие пульсационные составляющие газодинамических параметров (напряжения Рейнольдса), равны нулю, то приведенные уравнения сводятся к уравнениям, описывающим ламинарные течения.

Граничные условия на стенке остаются такими же, как и в случае внешних течений. При течении в трубах или плоскопараллельных каналах существует линия или плоскость симметрии течения. Поэтому условия на внешней границе имеют вид

« = =0. (7.93)

Найдя градиент давления, можно решить конечно-разностные аналоги уравнений движения, неразрывности и энергии теми же методами, которые использовались в случае внешних течений. Наиболее широко используемой для расчета внутренних течений явной схемой является схема Дюфорта - Франкела, которая описана в п. 7.3.4 для решения уравнений тонкого вязкого слоя. Типичное сопоставление рассчитанных методом Дюфорта - Франкела значений с измеренными показано на рис. 7.18. Измерения Барбина и Джонса [Barbin. Jones, 1963] проведены для случая турбулентного течения воздуха в круглой трубе. На рис. 7.18 а, - среднее значение скорости в трубе, определенное по расходу, а - радиус трубы. Даже вблизи входа {x/D = 1.5) рассчитанные значения хорошо совпадают с измеренными. Расчет был проведен с использованием простой алгебраической модели турбулентности.

По своей постановке задача расчета внутренних течений очень похожа на обратную задачу пограничного слоя, которая для случая внешних течений рассмотрена в § 7.4. Наиболее очевидным это становится при использовании неявных методов расчета. Во внутренних течениях необходимо определить корректный градиент давления, обеспечивающий поле скорости, удовлетворяющее заданному расходу газа через канал. Во внешних течениях необходимо соответственно так подобрать градиент давления (или скорость на границе пограничного слоя), чтобы распределение скорости удовлетворяло заданной толщине вытеснения. Для определения градиента давления при расчете внутренних течений неявными методами использовалось несколько различных подходов. Опишем некоторые из них.

то, что используемое значение является предварительным. Простое предположение р;" = р" позволяет получить очень хорошие результаты. На практике чаще всего используют именно этот подход. Альтернативным является определение величины Р/"* путем экстраполяции со вторым порядком точности по уже известным значениям pjf и р-Мак как величина т определена заданными начальными условиями, а под интегралами в уравнении (7.95) стоят лишь известные величины, то градиент давления dp/dx можно вычислить по формуле

т-рГЧ г.„-. (7.96)