1. Метод секущих. В каждом сечении можно итерационно менять градиент давления до тех пор, пока расход не станет равен заданному [Briley, 1974]. Для этого используется метод секущих, подробно описанный в п. 7.4.3, где он применялся для решения обратной задачи пограничного слоя при заданной толщине вытеснения б*. Если коэффициенты уравнения постоянны, скорость зависит от градиента давления линейно, поэтому

1.0 0.8 ~ 0.6-0.4-0.2-

a:/D= 1.5 4.b 15.5 40.5

0.5 0.6

Рис. 7.18. Сопоставление рассчитанных н измеренных профилей скорости турбулентного потока во входном участке круглой трубы [Nelson, Pletcher, 1974]; - расчет методом Дюфорта - Франкела; значками обозначены экспериментальные данные Барбина и Джонса.

обычно сходимость итерационного процесса достигается за три итерации.

2. Коррекция градиента давления с запаздыванием. Патан-кар и Сполдинг [Patankar, Spalding, 1970] отметили, что проводить итерации на каждом шаге по маршевой координате не экономично. Они предложили задавать в каждом сечении градиент давления еще до проведения расчета в этом сечении. Ошибка в расходе используется для задания градиента давления в следующем сечении. Такой подход можно сравнить с процессом управления автомобилем, корректировка курса которого проводится без возврата назад для улучшения траектории движения. Этот подход, основанный лишь на здравом смысле, явился основой для ранней версии метода Патанкара и Спол-динга расчета внутренних течений. Хотя наличие здравого

смысла в приведенных рассуждениях отрицать нельзя, такой подход приводит к слишком грубым по современным меркам результатам, поэтому пользоваться им мы не рекомендуем. Что же касается тенденции к снижению времени расчетов, которая наблюдается в течение последних десятилетий, то она уравновешивается тенденцией к применению потенциально более точных численных методов.

3. Метод Ньютона. Рейсби и Шнайдер [Raithby, Schneider, 1979] предложили метод расчета течений несжимаемой жидкости, требующий по крайней мере на одну треть меньших усилий, чем метод секущих, в котором минимально возможное число итераций равно трем. Метод основан на предположении о постоянстве коэффициентов разностных уравнений, т. е. эти коэффициенты не должны меняться при подборе градиента давления, удовлетворяющего условию сохранения расхода. Основная идея этого подхода состоит в том, что если для первоначально заданного градиента давления dp/dx получено решение разностных уравнений, то коррекцию градиента давления можно провести методом Ньютона. При замороженных коэффициентах зависимость скорости от градиента давления линейная, поэтому одна коррекция по Ньютону позволяет получить точное значение градиента давления. Проиллюстрируем вышесказанное. Введем обозначение 5 = dp/dx. Зададимся некоторым начальным приближением градиента давления dp/dx = = (dp/dx)* и вычислим соответствующие ему предварительные распределение скорости и расход гп. Так как уравнение

движения с замороженными коэффициентами линейное, то, применяя метод Ньютона (см. п. 7.4.2), видим, что точное значение скорости в каждой точке определяется соотношением

= пху + g:!. Д5, (7.97)

где AS - изменение градиента давления, необходимое для удовлетворения условию сохранения расхода. Обозначим г/+у = = du}/dS. Продифференцировав разностные уравнения по градиенту давления S, получим систему разностных уравнений относительно и+/ с трехдиагональной матрицей, причем коэффициенты при неизвестных будут такими же, как и в исходной системе неявных разностных уравнений. Из этой системы уравнений неизвестные г определяются прогонкой. Граничные условия для неизвестных и должны быть согласованы с граничными условиями для скорости. На тех границах, где СКР-

в котором интеграл должен быть вычислен численно. В уравнении (7.98) т - значение расхода, определяемое заданными начальными условиями. Нужное нам значение AS находится из решения уравнения (7.98). После этого точные значения скоростей uj- можно вычислить, используя соотношения (7.97), а неизвестные v определить из уравнения неразрывности. Описанный подход требует примерно такого же объема вычислений, как две итерации при использовании метода секущих.

4. Подходы, в которых градиент давления рассматривается в качестве дополнительной неизвестной. Во всех описанных выше подходах градиент давления при решении уравнений для скоростей рассматривался как известная величина. Поэтому при применении подходов 1-3 разностные уравнения можно решать обычной прогонкой. Теперь мы перейдем к описанию разностных схем, в которых градиент давления входит в качестве неизвестной в систему алгебраических уравнений. В этом случае матрица коэффициентов уравнения уже не является трехдиагональной. В ранних схемах такого типа [НогпЬеск, 1963] для решения системы уравнений использовался обычный метод исключения Гаусса. Впоследствии для этих целей стали применять более эффективные блочные методы [Blottner, 1977; Cebeci, Chang, 1978; Kwon, Pletcher, 1981]. Метод, предложенный Квоном и Плетчером [Kwon, Pletcher, 1981], является модификацией обратного метода В, описанного в п. 7.4.3. Для расчета внутренних течений с отрывными зонами используется приближение Флюгге-Лотц. Опишем изменения, которые необходимо внести в обратный метод В для того, чтобы с его помощью можно было рассчитывать двумерные внутренние течения несжимаемой жидкости в каналах. Предположим, что течение симметрично относительно средней линии канала, расположенной при у = Я/2, где у - координата, отсчитываемая от стенки канала, а Я -его высота. Для описания течения вое-

рость задана, ставится условие t/J = О» тогда как на границах с заданным градиентом скорости задается условие диЦдп - О {п - нормаль к границе-). Зная гг+Д можно найти Д5, исходя лишь из того, что для выполнения условия сохранения расхода, скорость в каждой точке надо подправить на величину w+AS. Следовательно, мы можем написать соотношение

m - т = AS 5 ptJ+/ dA, (7.98)