300 350

Рис. 7.21. Рассчитанное расстояние до точки присоединения для ламинарного течения в симметричном канале с внезапным расширением при Я1/Я2 = 0.5

[Kwon, Pletcher, 1981]; - расчет при помощи уравнений пограничного

слоя; О результаты расчетов Ханга при помощи уравнений Навье - Стокса; □ результаты расчетов Морихары при помощи уравнений Навье - Стокса.

При использовании методов, основанных на решении уравнений пограничного слоя, затраты машинного времени оказываются на порядок меньше, чем при решении полных уравнений Навье - Стокса. В рассматриваемом случае метод, основанный на, решении уравнений пограничного слоя, позволяет получить хорошее согласование рассчитанных и экспериментально измеренных значений.

На рис. 7.21 проведено сопоставление рассчитанного расстояния до точки присоединения с результатами расчетов полных уравнений Навье - Стокса. Число Re- подсчитано по высоте канала до расширения. В целом результаты расчетов уравнений пограничного слоя и Навье - Стокса находятся в хоро-

На рис. 7.20 проведено сопоставление рассчитанных этим методом профилей скорости с результатами измерений и расчетов полных уравнений Навье - Стокса в симметричном канале с внезапным расширением. На этом рисунке г/, max - максимальное значение скорости перед расширением (ступенькой), Яо -высота канала вниз по потоку от места расширения, а ycL - расстояние от стенки до средней линии канала. Символы Л, Нх и Яг имеют тот же смысл, что и на предыдущем рисунке.

12.0

шем согласии, исключение составляют течения с числами Рейнольдса, меньшими 20, когда наблюдается тенденция к расхождению результатов расчетов уравнений пограничного слоя и Навье - Стокса.

7.5.3. Заключительные замечания

В § 7.3 были подробно описаны несколько конечно-разностных схем решения уравнений тонкого вязкого слоя, пригодных для расчета обычного пограничного слоя во внешних течениях. Рассматривая здесь методы расчета внутренних течений, мы не повторяли деталей численных методов, общих для внутренних и внешних течений. Вместо этого основное внимание было уделено тем особенностям, которые характерны для этих течений и являются специфическими именно для внутренних течений.

В этом разделе мы ограничились течениями в каналах с прямой осью. Блоттнер [Blottner, 1977] показал, что приближение тонкого вязкого слоя (известное также под названием приближение «узкого канала») может быть распространено и на искривленные двумерные каналы, высота которых меняется. При этом уравнения пограничного слоя надо записать в форме, учитывающей влияние продольной кривизны [van Dyke, 1969]. Обусловленный кривизной канала нормальный градиент давления определяется по формуле

где п - координата, нормальная к средней линии канала, а x - кривизна средней линии канала.

Методы расчета вязко-невязкого взаимодействия можно применять для анализа внутренних течений тогда, когда в потоке существует невязкое ядро. В большинстве случаев влияние взаимодействия должно быть пренебрежимо мало. Исключения составляют течение на входе в канал при низких числах Рейнольдса и течение в каналах с внезапным изменением площади поперечного сечения. При учете вязко-невязкого взаимодействия происходит передача информации вверх по потоку; следовательно, в этом случае можно ожидать более точных результатов для течений, в которых поле давлений зависит от условий ниже по потоку. Течение невязкой несжимаемой жидкости в каналах обычно рассчитывают, решая уравнение Лапласа для функции тока. Для вязкой подобласти течения в этом случае можно использовать обратный метод В, описанный в п. 7.4.3. Такой комбинированный подход, учитывающий взаимодействие, применялся для расчета течений в канале с обратным уступом.

480 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного поля § 7.6. Свободные сдвиговые течения

Уравнения тонкого вязкого слоя являются весьма точной математической моделью для многих свободных сдвиговых течений. К ним относятся плоские и осесимметричные струи, как затопленные, так и в спутном потоке, плоские слои смешения и следы за телами. Подавляющее большинство свободных сдвиговых течений, встречающихся в инженерных приложениях, являются турбулентными. В настоящее время модели турбулентности, используемые для описания свободных течений, носят куда менее общий характер, чем модели турбулентности, применяемые для пристенных пограничных слоев. До сих пор не удалось найти модель турбулентности, которая позволила бы проводить расчет развития плоских и осесимметричных струй и не требовала бы при этом изменения параметров модели.

Полный курс, посвященный расчету свободных сдвиговых течений, должен был бы на 60 % состоять из описания моделей турбулентности, на 25 % - из описания физических особенностей различных свободных сдвиговых течений и на 15%-из описанця численных методов. Численные методы, которым в основном посвящена наша книга, составляют наиболее простую часть задачи точного расчета характеристик свободных сдвиговых турбулентных течений.

Круглые струи, которые широко исследовались экспериментально и теоретически, являются достаточно характерным примером свободных сдвиговых течений. Хорошей математической моделью для описания круглых струй с прямой осью являются уравнения тонкого вязкого слоя, если только давление внутри струи можно положить равным давлению в окружающем пространстве. Последнее условие выполняется лишь в том случае, когда силы поверхностного натяжения на границе струи пренебрежимо малы, а струя является полностью расширенной, т. е. в начальном сечении (в сечении, где происходит истечение струи) давление в струе совпадает с давлением в окружающем пространстве.

Дозвуковую струю, истекающую из насадка, всегда можно рассматривать как полностью расширенную. Необходимым условием того, чтобы поперечное сечение струи оставалось круглым, а ее ось - прямой, является отсутствие сил, действующих на струю в поперечном направлении. Следовательно, струя должна вытекать либо в неподвижную среду (затопленная струя), либо направление движения среды должно совпадать с направлением вытекающего из насадка газа (струя в спутном потоке), а объемные силы (например, архимедовы силы) должны быть пренебрежимо малы. Ели все перечисли!?-