§ 7.6. Свободные сДвнгойые течений

ные условия выполнены, то для описания рассматриваемого течения можно воспользоваться уравнениями тонкого вязкого слоя (5.116) -(5.119). Выпишем эти уравнения для простейшего случая течения несжимаемой жидкости в круглой струе при отсутствии градиента давления. Уравнение неразрывности

д{уи) д(уу)

дх ду

Уравнение движения

ди . ди \ д V f ди ~7~7м

(7.106)

(7.107)

При численном решении основное различие между круглой струей и пристенным пограничным слоем состоит в задании

Начальный участок струи

Осиовтй участок струи

Рис. 7.22. Схема течения в круглой струе.

граничных условий. Схематически круглая струя показана на рис. 7.22. Так как струя симметрична относительно средней линии, подходящими граничными условиями при t/ = О будут условия: {ди/ду)уо = 0 и v(XyO) =0. Граничное условие на внешней границе имеет тот же вид, что в случае пристенного пограничного слоя: lim и{Ху y) = Ue.

Для проведения численных расчетов необходимо задать также начальные условия. Обычно, особенно для турбулентных струй, начальная скорость в сечении истечения струи полагается постоянной и равной Uq, Естественно, что это условие не

является абсолютно точным, так как должна существовать небольшая область, в которой проявляется тормозящее воздействие стенок трубы. С другой стороны, не ожидается, что уравнения пограничного слоя позволят очень точно описать течение вблизи места истечения струи, т. е. при л: )о, меньших единицы, где Do - диаметр струи в месте ее истечения. В случае турбулентной струи задание в начальном сечении равномерного поля скорости позволяет получать достаточно точные результаты в наиболее интересной для инженерных приложений области x/Do > 1.

Для некоторых разностных схем, используемых при расчете струйных течений в декартовой системе координат, необходимо также задать начальное распределение составляющей скорости V. Как уже отмечалось в § 7.3, это связано с математическими особенностями метода расчета, а не с математической постановкой задачи. Если такое начальное условие для v необходимо, то мы рекомендуем задавать его в виде v{0, у) = 0. Вблизи начального сечения в уравнениях появляется особенность (производная ди/дх велика из-за исчезающе малой начальной толщины слоя смешения). Влияние этой особенности можно ограничить небольшой зоной, если вблизи начального сечения провести на нескольких слоях расчет с мелким шагом по маршевой координате. Особенность в начальном сечении струи аналогична особенности, возникающей на передней кромке пластины при решении уравнений пограничного слоя в декартовых координатах.

Для затопленных турбулентных струй начальный участок, показанный на рис. 7.22, распространяется до значений x/D » 5. В случае спутной струи начальный участок может оказаться еще длиннее. Характерной особенностью начального участка является то, что скорость на оси струи равна скорости истекающего газа. В основном участке струи скорость определяется лишь скоростью в окружающем пространстве Ue. Законы изменения толщины струи на начальном и основном участках различны, поэтому при использовании алгебраических моделей турбулентности на каждом из этих участков должна применяться своя модель турбулентности (или одна и та же модель турбулентности, но с разными константами).

Практика показывает, что большинство конечно-разностных схем, описанных в § 7.3, позволяют неплохо рассчитывать и струйные течения. Ряд численных методов описан в трудах конференции по турбулентным сдвиговым течениям: Proceedings of the Langley Working Conference on Free Turbulent Shear Flows (NASA, 1972). Изучение трудов этой конференции является хорошей базой для понимания проблем, связанных с созданием достаточно точных методов расчета ряда свободных

§ 7.6. Свободные сдвиговые течения 483

турбулентных сдвиговых течений. Подробности различных численных методов описаны также в работах [НогпЬеск, 1973; Madni, Pletcher, 1975а, 1975b, 1977а; Hwang, Pletcher, 1978]. В последней из них приведены разностные уравнения, полученные при применении для расчета круглой струи полностью неявного метода, методов Кранка - Николсона и Дюфорта - Франкела, а также явных методов переменных направлений Ларкина, Саульева, Бараката и Кларка. Полезный обзор известных экспериментальных данных, относящихся к турбулентным свободным сдвиговым течениям с постоянной плотностью, проведен Роуди [Podi, 1975].

Уравнение энергии, записанное в приближении пограничного слоя, также применимо к расчету свободных сдвиговых течений. Если затопленная нагретая струя истекает вертикально, то независимо от наличия температурной стратификации ось струи остается прямой и никаких новых проблем при использовании приближения пограничного слоя не возникает. Если нагретая струя вытекает под каким-либо углом или если она вытекает под любым углом к основному потоку, то ось струи должна искривиться. Такие течения рассчитывались как в рамках полных трехмерных уравнений Навье - Стокса (см. [Patankar et al., 1977] и некоторые другие работы), так и в рамках приближенной параболической конечно-разностной модели, основанной на предположении о том, что течение остается осесимметричным [Madni, Pletcher, 1977b; Hwang, Pletcher, 1978]. В этой осесим-метричной модели используется упрощенное уравнение движения в поперечном направлении, что позволяет получить обыкновенное дифференциальное уравнение для угла между касательной к средней линии струи и горизонталью. При таком подходе объем вычислений оказывается лишь слегка большим, чем объем вычислений при решении уравнений осесимметричного пограничного слоя. Неожиданным оказалось хорошее совпадение рассчитанных и измеренных значений всех параметров и особенно формы средней линии струи.

В этом разделе мы не приводили конкретных конечно-разностных схем, так как все схемы, описанные в § 7.3, легко модифицируются на случай свободных сдвиговых течений. Здесь, однако, стоит указать на одну особенность, возникающую иногда при численном расчете затопленных струй. Некоторые разностные схемы не позволяют достаточно точно рассчитать скорость и в том случае, когда она должна асимптотически приближаться к равной нулю скорости внешнего потока. Возникающие при этом проблемы связаны, по-видимому, с аппроксимацией коэффициентов в конвективных членах и процедурой, используемой для нахождения внешней границы пограничного слоя. Отчетли-