вее всего эти проблемы видны при применении метода запаздывающих коэффициентов. На практике указанное затруднение обычно преодолевают, задавая на внешней границе струи небольшую положительную скорость, которая составляет 1-3 % скорости на оси струи. Имеющиеся в литературе данные показывают, что такое приближение не оказывает сколь-нибудь заметного влияния на точность получаемых результатов. Хорнбек [НогпЬеск, 1973] показал, что при Ue = 0 достаточно хорошее решение можно получить при помощи неявного метода с итерационной заменой коэффициентов.

§ 7.7. Трехмерные пограничные слои 7.7.1. Введение

Большинство течений, встречающихся в инженерных приложениях, являются трехмерными. В этом разделе мы рассмотрим конечно-разностные методы расчета таких трехмерных течений, которые являются «тонкими» (т. е. имеют большой градиент скорости) лишь в одном направлении. Многие течения, встречающиеся на практике, относятся к течениям рассматриваемого типа. В основном это внешние течения. В качестве примера укажем на течения, возникающие в вязкой области потока на крыльях и аэродинамических телах произвольной формы.

Для начала рассмотрим трехмерный пограничный слой, схематически изображенный на рис. 7.23. Наличие в потоке цилиндра изменяет поле давления и отклоняет линии тока невязкого потока, как это показано на рисунке. Из уравнений движения следует, что составляющая градиента давления, вызывающая это отклонение, направлена от центра кривизны линий тока невязкого потока. Так как пограничный слой тонкий, то градиент давления не меняется в направлении, нормальном к обтекаемой поверхности. В результате при движении в глубь пограничного слоя вектор скорости поворачивается к центру кривизны линии тока невязкого течения. Это связано с тем, что градиент давления остается неизменным, а силы инерции убывают по мере приближения к стенке. Последнее и приводит к тому, что при движении по нормали к стенке внутрь пограничного слоя радиус кривизны линий тока убывает. Следовательно, в общем случае поперечная составляющая скорости достигает максимума в некоторой точке, расположенной внутри пограничного слоя, как это и показано на рис. 7.23. Итак, градиент давления приводит к возникновению поперечного течения, которое в приложениях обычно называют вторичным течением. Возникновением вторичных течений объясняются такие явле-

НИЯ, как наблюдаемый на участке поворота реки перенос песка к ее внутреннему берегу или движение чаинок к центру (у дна чашки) при помешивании чая.

Еще одним интересным примером является трехмерный пограничный слой на осесимметричных телах, обтекаемых под углом атаки. Такие течения на удлиненных эллипсоидах исследовались многими авторами. Укажем здесь на работы [Wang, 1974, 1975; Blottner, Ellis, 1973; Cebeci et al., 1979a; Patel, Choi, 19791.

Линия тока йевязкого течения

Плоскость задания начальных данных

Рис. 7.23. Пример течения в дозвуковом трехмерном пограничном слое.

Уравнения трехмерного пограничного слоя не пригодны для описания вблизи линии пересечения двух поверхностей (например, вблизи линии пересечения крыла с фюзеляжем или в углу канала), так как в этом случае одинаково важную роль играют градиенты вязких напряжений по двум направлениям. Для описания течения вблизи углов используется другая упрощенная форма уравнений Навье - Стокса, которая будет обсуждаться в гл. 8.

Здесь мы не собираемся подробно осветить все вопросы теории трехмерного пограничного слоя. Наша цель - привести стратегию численного решения уравнений трехмерного пограничного слоя, опираясь на материал, изложенный в предыдущих разделах. При этом основное внимание будет уделено тем новым моментам, которые связаны с трехмерным характером решаемой задачи.

486 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного поля 7.7.2. Уравнения трехмерного пограничного слоя

В гл. 5 уже были приведены уравнения трехмерного пограничного слоя в декартовой системе координат (уравнения (5.120) - (5.123)) и в ортогональной криволинейной системе координат, связанной с поверхностью обтекаемого тела (уравнения (5.124) -(5.128)). При некоторых специальных условиях (реализующихся, например, при сверхзвуковом ламинарном обтекании конуса под углом атаки) число независимых переменных можно сократить с трех до двух. Эти частные случаи мы здесь рассматривать не будем.

Декартовы координаты можно использовать для расчета течений на развертывающихся поверхностях (т. е. на таких поверхностях, которые могут быть развернуты на плоскость без сжатия или растяжения). Их можно, конечно, использовать и для расчета течений на плоской поверхности. Криволинейные координаты необходимы для анализа течения на телах более сложной формы. Небольшое количество расчетов проведено в потоковой системе координат (криволинейной ортогональной системе координат, связанной с линиями тока невязкого течения [Cebeci et al., 1973]). Однако большинство расчетов трехмерных пограничных слоев проведены в системах координат, связанных лишь с формой обтекаемой поверхности. Если даже система координат связана с обтекаемой поверхностью, то необходимо еще выбрать направление координатных линий. Обзор различных систем координат, используемых для расчета трехмерных течений, проведен Блоттнером [Blottner, 1975b].

Уравнения трехмерного пограничного слоя, приведенные в гл. 5, имеют особенность в начале координатной оси лгь Это особенность того же типа, что и особенность, возникающая в двумерном случае на передней кромке пластины (см. п. 7.3.7). Некоторые исследователи успешно использовали уравнения, записанные в такой форме, для расчета течений в декартовой системе координат [Klinksiek, Pierce, 1973], а также для расчета более сложных течений, возникающих при обтекании осесим-метрических тел [Wang, 1972; Patel, Choi, 1979]. Однако перед проведением расчета трехмерного пограничного слоя приходилось применять специальную процедуру для определения решения в передней критической точке.

Более общепринятым является исключение имеющейся в уравнениях особенности путем подходящей замены переменных. Ни одна из таких замен переменных не является оптимальной сразу для всех течений. Сопоставление нескольких преобразований переменных, применявшихся для решения различных задач, проведено Блоттнером [Blottner, 1975b]. В качестве примера мы