406 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя Уравнение неразрывности

р/ Р/ -p/.it;/.l р/ Ц/ -р/Ц/ -f-p/,i/ i -р/,!/..,!

(7.10)

При 0=1/2 величины р и в первом слагаемом нужно вычислять на (п+1/2)-м слое, в соответствии с этим надо изменить и запись уравнения (7.10). Тогда погрешность аппроксимации уравнения неразрывности равна 0(Дх)2 + 0(Ау)2. Конечно-разностный аналог уравнения энергии строится по той же схеме, что и для уравнения движения. В качестве независимой переменной выберем температуру Г, что вполне возможно при течении газа с небольшой скоростью. Тогда уравнение энергии можно записать:

Уравнение энергии

Введя коэффициент 0, получим конечно-разностный аналог этого уравнения

. е {9Г-ГорТ) (тЩ - nil) + (t - е) (рЖ/) (/+1 - /-0 (е [kUln {тЩ - тГ) - klll, {тГ - nil)] +

+ (1 - в) {TUi - Ti) - kUi2 (n - TU)\) + , [e(p;+r;f+«+) + (i-e)(py7-;«;f)](p+-p;?) .

+ Да:

Погрешность аппроксимации уравнения энергии такая же, как и уравнения движения при 0 = 0, 1/2, 1.

Можно построить полностью неявную схему (0=1), имеющую формально второй порядок точности, если для аппроксимации производных в продольном направлении использовать значения неизвестных на трех слоях {п-1, д, /?+ 1), как это было сделано в гл. 3. Возможность применения такой схемы показана в работах [Davis, 1963; Harris, 1971].

При использовании любого неявного метода (0¥=О) конечно-разностные аналоги уравнений движения и энергии (уравне-

ния (7.9) и (7.12)) являются нелинейными алгебраическими уравнениями, так как в коэффициенты входят значения неизвестных на (д+1)-м слое. Линеаризация этих уравнений может быть проведена и обычно проводится одним из следующих способов.

1. Запаздывающие коэффициенты

Чаще всего используют простейший метод линеаризации разностных уравнений, состоящий в вычислении всех коэффициентов на ПМ слое. Его называют методом запаздывающих коэффициентов. При таком подходе согласованность разностной схемы сохраняется, так как для произвольной функции ф{х, у) имеем (хо + Ал:, уо)==ф{хо, уо)+0(Ал:). Однако такая линеаризация не позволяет достичь по маршевой координате аппроксимации более высокого чем первый порядка. Для записанного в общем виде уравнения переноса (7.5) полученное методом запаздывающих коэффициентов линеаризованное конечно-разностное уравнение имеет вид

т + W - + (1 - в) (ф, - Фи)] =

=-(д и?-м/2 [е {фщ - фГ) + (1 - 9) {Фи - ф?)] -- Uf2 [е (фГ - ФП1) + (1 - в) {ф - фШ +

+ 954(1-6)5 (7.13)

Конечно-разностные аналоги всех трех уравнений, описывающих законы сохранения, могут быть теперь решены независимо. Из уравнения движения можно найти из уравнения энер-

гии- найти Т]\ а из уравнения состояния - найти р} и, наконец, из уравнения неразрывности - найти 1;+ Матрицы коэффициентов в уравнениях, аппроксимирующих уравнения движения и энергии, трехдиагональные, поэтому эти уравнения можно решать прогонкой.

2. Простая итерационная замена коэффициентов Вычисление коэффициентов можно провести и на (п+1)-м

слое в соответствии с уравнениями (7.9), (7.10) и (7.12) при помощи простого итерационного метода. При этом сначала все коэффициенты вычисляются на п-м слое (с запаздыванием) и из решения системы уравнений определяются значения неизвестных и, Г, V на (п+ 1)-м слое. Теперь значения коэффициентов можно найти по только что вычисленным значениям неизвестных на {п+ 1)-и слое, а расчет повторен на (n-f 1)-м слое для получения более точных результатов.

значений и на двух последовательных итерациях, которые проводятся для решения разностных уравнений. Тогда = = + ле значком л над буквой отмечено значение неизвестной на предыдущей итерации. Для первой итерации значение переменной принимается равным ее значению на предыдущем шаге по маршевой координате. Величина 6« играет ту же роль, что и величина Дх при использовании метода Ньютона - Рафсона - Канторовича для нахождения корней трансцендентного уравнения. Представим величину {иу- в виде

= {й + = + 267+1 + 62. (7.14)

Линеаризуем правую часть уравнения (7.14), отбросив член dL пропорциональный квадрату изменения неизвестной, что аналогично отбрасыванию членов порядка (Дл:) в методе Ньютона - Рафсона - Канторовича. После линеаризации выражение для (и-У примет вид

{uJ+J « {й+У + 26й+\ (7.15)

причем неизвестной в нем является лишь величина 6. Можно поступить и по-другому, учитывая, что = и- - й+К Тогда соотношение (7.15) примет вид

{uf+y « 2г/«+Л«+1 - {й]+у. (7.16)

Описанную линеаризацию можно провести и более формально, используя разложения в ряд Тейлора. Пусть г\ = и-\

Эту процедуру можно повторить итерационно несколько раз до тех пор, пока отличие решений на двух последовательных итерациях не окажется достаточно малым. Обычно хватает двух-трех итераций, хотя Блоттнеру [Blottner, 1975а] при проведении расчетов по схеме Кранка - Николсона требовалось до 19 итераций для того, чтобы при измельчении сетки численно полученное решение вело себя как решение, полученное по схеме второго порядка точности (см. § 3.2). Несмотря на то что переход от метода запаздывающих коэффициентов к простой итерационной замене коэффициентов связан с минимальными изменениями в программе для ЭВМ, описанный ниже метод линеаризации по Ньютону значительно эффективнее, поэтому именно его мы рекомендуем для расчета пограничного слоя.

3. Использование линеаризации по Ньютону для итерационного вычисления коэффициентов

Линеаризация по Ньютону (ее часто называют также квазилинеаризацией) проводится следующим образом. Предположим, Hanpjej (/0- Пусть 6 - разность