системе координат (до проведения указанного выше преобразования переменных) или в декартовой системе координат, показывает, что координаты Xi и Хг взаимозаменяемы. Действительно, вид уравнений не меняется, если координаты Xi и Хз поменять местами. Следовательно, до тех пор пока составляющие скорости щ и Us положительны, нельзя выделить какое-то координатное направление как очевидно маршевое, рассматривая лишь сами уравнения. Так как в уравнения входят первые производные от Uu Us и Н по Xi и Xsy то можно ожидать, что для обеспечения возможности расчета маршевым методом в направлении осей Xi и Xs начальные условия следует задать на двух пересекающихся плоскостях. Правильное (преимущественное) маршевое направление можно найти при помощи принципа влияния, который будет приведен ниже. В дальнейшем мы будем исходить из предположений, что решение можно найти маршем вдоль осей Xi или Xs -и что начальные данные надо задать на двух пересекающихся плоскостях. Обычно направление основного потока легко определить, зная геометрию обтекаемого тела и направление набегающего потока. Введя координату т), мы уже предположили, что направление осей х или Xi близко к направлению основного потока, а направление осей Хг .или г - к направлению вторичного течения. Рассмотрим сначала вопрос задания начальных значений f, G, / в плоскости г, т], что позволит получить информацию, необходимую для проведения расчета в направлении оси х маршевым методом.

Если начало координат поместить в переднюю критическую точку (или, как это иногда бывает, на переднюю критическую линию), то уравнения энергии и движения сведутся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Решая их совместно с уравнением неразрывности, найдем необходимые начальные условия в одной из плоскостей. Для течения, показанного на рис. 7.23, уравнения требуемого вида получаются путем простого отбрасывания всех членов уравнения, содержащих х в качестве сомножителя (они равны нулю). Такое начальное условие описывает течение, аналогичное течению у передней кромки пластины. Известно [Howarth, 1951], что при обтекании затупленных тел, имеющих истинную критическую точку (в которой происходит полное торможение потока), составляющие скорости Uie и us,e меняются в окрсстности этой точки линейно по X. Следовательно, некоторые члены уравнений, обращающиеся в нуль на передней кромке пластины, в случае обтекания затупленного тела имеют при л:-0 предел, отличный от нуля. В случае несжимаемой жидкости течение в передней критической точке подробно рассмотрено Блоттнером и Эллисом [Blottner, Ellis, 1973].

Пример расчета течения без плоскости симметрии приведен также в работе [37] в списке дополнительной литературы на стр. 712. - Прим перев

В большинстве случаев необходимые для расчета трехмерного пограничного слоя начальные распределения величин F, G, / (или Uu Uz, Я, если расчет проводится в непреобразован-ных криволинейных ортогональных координатах) во второй пересекающейся плоскости можно найти путем решения системы уравнений в частных производных в плоскости симметрии. Формулировку задачи в плоскости симметрии мы обсудим ниже, а пока отметим, что в некоторых случаях такую плоскость выделить не удается В качестве примера укажем на обтекание заостренных вращающихся конусов, рассмотренное в работах [Dwyer, 1971; Dwyer, Sanders, 1975]. Высказывались различные мнения о том, возможно ли для уравнений трехмерного пограничного слоя решать задачу с начальными данными, заданными лишь в одной плоскости [Lin, Rubin, 1973а]. Оказывается, что при использовании разностных схем с запаздывающей аппроксимацией производных в поперечном направлении [Dwyer, Sanders, 1975; Kitchens et al., 1975] задачу удается решить маршевым методом, задав начальные условия лишь в одной плоскбсти. Такое решение может быть найдено лишь в области, размер которой определяется принципом влияния. Указанная разностная аппроксимация уравнений и принцип влияния будут приведены в п. 7.7.3.

Плоскость симметрии течения на пластине с установленным на ней цилиндром показана на рис. 7.23. При обтекании не-вращающихся осесимметричных тел под углом атаки в потоке обычно существуют две плоскости симметрии: одна из них расположена на наветренной, а другая - на подветренной стороне тела. Для задания начальных условий обычно используют решение, полученное в первой из этих плоскостей. В плоскости симметрии

dF dV дЮ • (7 ллл\

= 17 = -dF - = 0- (7.114)

Невязкий поток и свойства жидкости также симметричны относительно плоскости симметрии. Из соотношений (7.114) следует, что уравнение движения в проекции на ось х и уравнение энергии сводятся к двумерным уравнениям. Однако задача остается трехмерной, так как в уравнении неразрывности член с производной в поперечном направлении отличен от нуля. Раскрыв в уравнении (7.100) член с производной в поперечном направлении и учтя соотношения (7.114), приведем уравнение неразрыв-

492 Гл. 7. Численные методы решения .уравнений пограничного поля ности к виду

X d{h,F) , F ..,..,dV хОг диге

duzldz

Уравнение движения в проекции на ось z (7.112) не позволяет получить какую-либо полезную информацию, так как всюду в плоскости симметрии G = 0. Однако, дифференцируя это уравнение по г и учитывая условия симметрии, получаем уравнение, из решения которого можно определить требуемую величину

+- + -3 = P9(e-/G,)-f

• +p,(eGl) + .9/C3 + f71. (7.116)

Вводя обозначение We,z = duse/dz, представим параметры Рэ и рю в виде

X dWe.z . xWez РЮ = "

Величину We,z надо найти из решения для невязкого течения. Уравнение (7.116) для Gz имеет тот же общий вид, что исходное уравнение движения в проекции на ось z. Его решение в плоскости симметрии может быть найдено маршем вдоль оси х.

Произвольный параметр Wey по которому обезразмеривается скорость вторичного течения, должен быть выбран так, чтобы исключить возникновение особенности. Выще мы предполагали, что в передней критической точке и в плоскости симметрии We = Us, б, а в остальной части течения We = Ui,

7.7.3. Некоторые особенности методов расчета трехмерных течений

Решение уравнений трехмерного пограничного слоя связано с рядом довольно сложных моментов, с которыми мы не сталкивались ранее при анализе двумерных течений. Решить уравнения невязкого течения и определить градиент давления, входящий в уравнения пограничного слоя, в трехмерном случае обычно намного труднее, чем в двумерном. Вычисление метрических коэффициентов и получение Другой информации, необходимой для расчета течения в криволинейной ортогональной системе ко-