Ординат, связанной с обтекаемым телом, для тел сложной формы также может оказаться непростой задачей. Модель турбулентности должна носить более общий характер, чтобы с ее помощью можно было определять еще одну составляющую тензора вязких напряжений. При построении конечно-разностных аналогов уравнений особое внимание надо обратить на следующие два момента: (1) необходимо учесть области влияния и зависимости уравнений трехмерного пограничного слоя и (2) разностная аппроксимация производных в поперечном направлении

Область влияний

Область зависимости

Харантеристини

Поверхность обтекаетго тела

Рис. 7,24. Области зависимости и влияния уравнений трехмерного пограничного слоя.

должна позволять получать устойчивое решение при положительной и отрицательной скорости вторичного течения.

В плоскости лс, Z уравнения трехмерного пограничного слоя имеют гиперболический характер, поэтому условие устойчивости их решения во многом похоже на условие Куранта - Фридрихса - Леви (КФЛ), которое подробно обсуждалось нами при анализе методов расчета волнового уравнения. Большую роль в формулировке и интерпретации принципа влияния для трехмерного пограничного слоя сыграли работы [Raetz, 1957; Der, Raetz, 1962; Wang, 1971; Kitchens et al., 1975]. Так как развитая ими концепция относится одновременно к областям влияния и зависимости, то ее обычно называют принципом влияния. Для правильного построения разностных схем необходимо уметь определять области зависимости, поэтому именно этому вопросу мы уделим основное внимание.

Рассмотрим точку Р, расположенную внутри пограничного слоя (рис. 7.24). Принцип влияния сводится к тому, что вслед-

Эта формулировка принципа влияния не всегда справедлива (см. [9] в списке дополнительной литературы на стр. 1\2). - Прим. перев.

ствие диффузии влияние решения в точке Р мгновенно достигает всех точек линии, нормальной к обтекаемой поверхности и проходящей через точку Р (линии АВ на рис. 7.24), а влияние вниз по потоку.связано с конвекцией вдоль всех линий тока, проходящих через эту точку. Нормали к обтекаемой поверхности образуют характеристические поверхности, а скорость распространения возмущений в этом направлении бесконечна. Возмущения в любой точке линии АВ передаются мгновенно вдоль всей этой линии и сносятся вниз по потоку всеми линиями тока, проходящими через АВ. Две крайние линии тока, проходящие через АВ, определяют горизонтальный размер клиновидной области влияния точек линии АВ,

Любые возмущения решения на линии АВ могут сказаться лишь в области, ограниченной характеристиками (нормалями к стенке),. проходящими через две эти крайние линии тока. Обычно одной из крайних линий тока является предельная линия тока, а другой - линия тока невязкого потока. Очевидно, параметры потока на линии АВ определяются тем, что происходит выше по потоку, а область зависимости - характеристиками, проходящими через две крайние линии тока, расположенные вверх по потоку от АВ Возмущения в любой точке этой клиновидной области вверх по потоку могут оказать влияние на течение на линии АВ, Крайними называются линии тока, проходящие через АВ и составляющие максимальный и минимальный угол с плоскостью Хз == const (или Z = const). Область зависимости определяет минимальный размер области, в которой необходимо задать начальные данные для определения решения на линии АВ,

Принцип влияния можно сформулировать и для других уравнений в частных производных. Разностный шаблон, используемый для аппроксимации производных на линии АВ, должен учитывать характер области зависимости, т. е. область зависимости разностного уравнения должна быть не меньше области зависимости исходного уравнения в частных производных. Мы уже показали, что для случая гиперболических уравнений в частных производных это требование приводит к условию КФЛ. Точная количественная формулировка условий, следующих из анализа областей зависимости, определяется используемым шаблоном. Например, если при определении решения на (п-j- 1)-м слое производная dGfdz аппроксимируется центральными разностями на п-м слое (шаг Дг постоянен), то из прин-

ципа ВЛИЯНИЯ следуют условия устойчивости

hlxG

hztizF

<1. (7.117)

Неравенство (7.117) эквивалентно требованию о том, чтобы локальный угол между линией тока и плоскостью z = const лежал внутри угла, тангенс которого определяется параметрами сетки и равняется А3А2/(/iiАле). Нам бы хотелось, чтобы условия (7.117) выполнялись на заданном шаге по х, причем шаг Ах определяется параметрами течения на предыдущем слое. Очевидно, что проводить итерации лишь для того, чтобы определить максимально допустимый шаг невыгодно, поэтому обычно новый шаг по X находят по последним уже вычисленным значениям G и F, При этом для того, чтобы учесть возможное изменение величин G и F на шаге Але, приходится вводить некоторый коэффициент запаса. Для определения с помощью неравенства (7.117) величины максимально допустимого шага по маршевой координате, это неравенство необходимо применять во всех внутренних узлах, расположенных в данном слое по л:, и только потом устанавливать новый шаг Алс. При расчете течений, в которых знак величины О не меняется, можно построить разностные схемы, обеспечивающие автоматическое выполнение накладываемых принципом влияния ограничений. Ниже мы проиллюстрируем это на примере схемы Кранка -• Николсона расчета трехмерного пограничного слоя.

Для трехмерных пограничных слоев надо проводить и анализ устойчивости разностных схем. Появление в уравнении движения дополнительной конвективной производной обычно оказывает влияние на устойчивость разностной схемы. Условие устойчивости схемы, вероятно, изменится при переходе от двумерного течения к трехмерному. Анализ устойчивости надо проводить независимо от анализа областей зависимости, что прекрасно показано в работе Китченса и др. [Kitchens et al., 1975]. Для некоторых схем условия, следующие из анализа областей зависимости, совпадают с условиями, полученными из анализа устойчивости разностной схемы методом Неймана. Но так бывает не всегда.

Китченс и др. [Kitchens et а1.,Л975] показали, что для четырех исследованных ими разностных схем наблюдается рост ошибок независимо от того, удовлетворяет разностная схема условию, следующему из принципа влияния, или нет. Некоторые разностные схемы позволяли получить гладкое и по виду «устойчивое» решение даже тогда, когда ошибки в определении параметров были велики. Для других разностных схем нарушение условий, накладываемых принципом влияния, может вызвать