неустойчивость решения, характеризуемую большими осцилляциями решения, даже если анализ устойчивости на возникновение таких осцилляции не указывает. Возможно построить абсолютно неустойчивые разностные схемы, удовлетворяющие ограничениям, накладываемым областями влияния.

Опишем кратко несколько наиболее часто используемых схем расчета трехмерного пограничного слоя. При этом индексами Al, /, k будем обозначать номера узлов по координатным осям Хи Хъ (или X, т), г). Решение уравнений мы будем искать при переходе от плоскости, соответствующей д-му шагу по маршевой координате, в плоскость, соответствующую (д+ 1)-му шагу по маршевой координате. Решение на (п-f 1)-м слое будем находить, начиная со значений k = 1 (обычно этому значению k соответствует плоскость симметрии) и определяя решение при всех /. В результате при заданных п vl k найдем решение на линии, нормальной к обтекаемой поверхности. После этого индекс k увеличивается на единицу и решение получается в другом «столбце» (ряде точек, расположенных на нормали к поверхности). Таким образом, на (д+ 1)-м слое осуществляется расчет маршевым методом в направлении вторичного течения. В приведенных ниже разностных соотношениях неизвестными являются значения величин на слоях п+ I, k.

Схема Кранка - Николсона. Несколько исследователей использовали обобщенную на трехмерный случай схему Кранка - Николсона. Из анализа областей влияния и зависимости следует, что ее можно применять для расчета течений лишь тогда, когда скорость вторичного течения не меняет знак. Поместим центр разностного шаблона в точку п+1/2, /, k-l/2. На рис. 7.25(a) разностный шаблон изображен так, как он виден сверху, со стороны потока (т. е. показаны лишь точки в плоскости г). Заштрихованная область приблизительно показывает максимальный размер области зависимости, допускаемый таким шаблоном. Светлым кружком обозначена точка, значения параметров в которой неизвестны, а крестиком - положение центра шаблона. При отрицательной скорости вторичного течения условия, накладываемые принципом влияния, не могут быть выполнены, так как при переходе к столбцу n+Uk, используемый шаблон не допускает передачи возмущений в направлении, противоположном направлению оси z. С другой стороны, до тех пор пока G О, принцип влияния не накладывает никаких ограничений на шаг Дх, так как при F > О, G О любая линия тока лежит внутри шаблона.

Было предложено несколько вариантов схемы Кранка - Николсона. Чаще всего член уравнения вида д/дц{адф/дц) аппрок-

симируется по тем же формулам, что и в двумерном случае, но при этом дополнительно проводится осреднение между столбцами k и k-1. Члены уравнений, содержащие производные дф/дх и дф/дг\, тоже аппроксимируются по формулам, используемым в двумерной схеме Кранка - Николсона, но с дополнительным осреднением между столбцами k и k-l. Производные в поперечном направлении (например, в члене уравнения

(а) (Ь)

Рис. 7.25. Схема Кранка - Николсона. (а) Проекция шаблона на плоскость x, z\ (b) контрольный объем для уравнения неразрывности.

(7.111), помеченном цифрой (1)) аппроксимируются следующим образом:

/1+1/2

/.ft-1/2

.rt+1 I tt n+\

Если обтекается криволинейная поверхность, то параметры кривизны К\ и Кг отличны от нуля и необходимо найти аппрокси-мационные соотношения для членов уравнения (7.111), помеченных цифрами (2) и (3). Аналогичные члены появляются в уравнениях пограничного слоя и в том случае, когда непреобразо-ванные уравнения записываются в ортогональной криволинейной системе координат (см. гл. 5). Эти члены уравнений не содержат производных от искомых неизвестных и в соответствии с определением, приведенным в п. 7.3.1, являются источниковыми членами. Члены уравнения (7.111), помеченные цифрами (4) и (5), - два новых источниковых члена, появляющихся при переходе к неизвестным F и G, Конечно-разностные аналоги членов уравнения (7.111), помеченных цифрами (2) -(5), и конвективных членов необходимо линеаризовать. Для этого можно воспользоваться любым из методов, описанных в п. 7.3.3, хотя ли-

неаризация при совместном решении уравнений в трехмерном случае обычно не проводится. Источниковые члены записываются в центре шаблона (в точке (д + 1/2, /, k- 1/2)). Для этого проводится осреднение по соседним узлам разностной сетки. Например, член уравнения (7.111), помеченный цифрой (2), можно представить в виде

{FGxK,)n-M2 « xKltai, {Fl, + П + + FlM,) X

X + Gl,-i + GlV-i + ВД)/16. (7.118)

Единственной алгебраической неизвестной в этом соотношении является P]ky а линеаризация состояла в том, что величина рассматривалась как известная. Величина G/,V может быть найдена путем экстраполяции, итерационной замены коэффициентов или методом запаздывающих коэффициентов, хотя метод запаздывающих коэффициентов применяется в трехмерном случае не часто. Очевидно, существует определенная свобода в выборе метода линеаризации различных членов уравнений. В правой части уравнения (7.111) есть и другие источниковые члены, но их линеаризацию проводить не надо. Итак, каждое уравнение движения заменяется системой линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных во всех узлах столбца Ai+ 1, /г. Эту систему уравнений можно решать прогонкой так как ее матрица коэффициентов трехдиагональная.

Чаще всего при расчете трехмерного пограничного слоя уравнение неразрывности для определения неизвестных V/.V решается независимо от уравнений движения. Решение уравнения неразрывности проводится после того, как величины F и G найдены из уравнений движения. Для построения конечно-разностного аналога уравнения неразрывности обычно выбирают контрольный объем с центром в точке (д + 1/2, /-1/2, k- 1/2). Этот контрольный объем показан на рис. 7.25(b). Средние значения и G в центре каждой грани контрольного объема обычно находят как среднее этих величин в четырех вершинах этой грани. При решении уравнений движения необходимо знать значения V лишь в точках п+ 1/2, /, k-l/2. Благодаря этому объем вычислений обычно удается сократить, если положить значение У, определенное при помощи уравнения неразрывности, равным значению в центре проекции контрольного объема на плоскость Ху Z. В памяти ЭВМ значениям У, вычисленным в точках д+ 1/2, /, /г - 1/2 физического пространства, обычно присваивают индекс /г+ 1, /, k.

На рис. 7.25(b) указаны индексы, которые обычно применяют при размещении неизвестных в памяти ЭВМ, и показана