точка, в которой вычисляют величину Vjk* Сетки, в которых неизвестные определяются в различных точках, обычно называют сетками с расположением узлов в шахматном порядке. В рассматриваемом нами случае все неизвестные, кроме У, определяются в узлах регулярной сетки. В гл. 8 мы приведем другие примеры использования сеток с расположением узлов в шахматном порядке. В принципе схема Кранка - Николсона может формально иметь второй порядок точности (погрешность аппроксимации О ((Ал:) 2, (Ati)2, (Аг)2). Точность этой схемы может снижаться вследствие линеаризации уравнений и применения неравномерных сеток.

Схема зигзаг. Схема зигзаг, предложенная Краузе [Krause, 1969], широко применяется для расчета течений, в которых по-

j,k+l

(а) (Ь)

Рис. 7.26. Схема зигзаг, (а) Проекция шаблона на плоскость х, z\ (b) контрольный объем для уравнения неразрывности.

перечная составляющая скорости меняет знак. В этом случае используется разностный шаблон, центр которого расположен в точке п+ 1/2, /, k. Проекция шаблона на плоскость х, z показана на рис. 7.26(a). Как и раньше, заштрихованной областью приближенно показан максимальный размер области зависимости такого шаблона. Отметим, что этот шаблон позволяет учесть информацию о течении в обоих направлениях оси z от точки п+\, i,k. Следовательно, используя такой шаблон, можно рассчитывать потоки с направленным в любую сторону вторичным течением, если только направление потока остается в пределах зоны зависимости шаблона. Так же как в случае схемы Кранка - Николсона, при F > О, G О ограничения на шаги сетки отсутствуют. Однако такие ограничения появляются

Так как при последовательном расчете в направлении оси z мы переходим от столбца с номером (д + 1, - 1) к столбцу с номером (л+1,), то единственной неизвестной в соотношении (7.119) является ф1\\ Линеаризация получившихся уравнений проводится почти так же, как в случае схемы Кранка - Николсона. Полученные уравнения имеют более компактный вид, так как осреднение проводится по двум точкам, а не по четырем. Например, член уравнения (7.111), помеченный цифрой (2), можно представить в виде

(.О..Ж"-"""";"""". (7..20,

Схема зигзаг приводит к системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, которую можно решить прогонкой.

Конечно-разностный аналог уравнения неразрывности можно построить путем рассмотрения контрольного объема с центром в точке (д + 1/2, /- 1/2, /г), как показано на рис. 7.26(b). Среднее значение F на грани контрольного объема, параллельной

в том случае, когда вторичное течение направлено в сторону, противоположную направлению оси г. Для схемы зигзаг ограничения на шаги разностной сетки, следующие из принципа влияния, имеют вид

tzhzF •

Здесь необходимо отметить, что допустимое направление потока можно изменить путем изменения отношения шагов сетки Аг/Ах.

Схема зигзаг алгебраически проще схемы Кранка - Николсона. В основном это объясняется тем, что при построении конечно-разностных аналогов уравнений осреднение проводится лишь между д и п + 1, тогда как между двумя слоями по k оно не проводится. При использовании схемы зигзаг конечно-разностные аналоги членов уравнений вида д/дц{адф/дц) и дф/дх строятся так же, как в двумерной схеме Кранка - Николсона. Производные в поперечном направлении, входящие в уравнения движения, аппроксимируются по значениям неизвестных в узлах, обведенных на рис. 7.26(a) штриховыми линиями. При постоянном шаге Аг соответствующий конечно-разностный аналог производной имеет вид

2I (7.119)

dz

- [{aG)l k + {aG)U. k + {aG)tk-x + [aGftll k-i\)lz,

(7.121)

При использовании схемы зигзаг величина V определяется из уравнения неразрывности в центре верхней грани контрольного объема (эта грань параллельна плоскости лс, г), т. е. в точке (д+ 1/2, /, k). В памяти ЭВМ эту величину обычно располагают в элементе массива с номером (/г + 1,/,), как показано на рис. 7.26(b). Схема зигзаг Краузе имеет ту же погрешность аппроксимации, что и схема Кранка -• Николсона. Более подробно схемы Кранка - Николсона и зигзаг описаны в работе Блоттнера и Эллиса [Blottner, Ellis, 1973].

Различные модификации схемы зигзаг. Опишем кратко две модификации схемы зигзаг, позволяющие рассчитывать потоки с положительным и отрицательным вторичным течением. Уонг [Wang, 1973] предложил двухшаговый метод второго порядка точности, который не требует линеаризации членов уравнений движения. Как и для любого другого двухшагового метода, начальные условия должны быть заданы в этом случае на двух слоях по маршевой координате. Поэтому один или несколько первых шагов проводят обычно по другой разностной схеме. Проекция на плоскость х, z шаблона, используемого для построения двухшаговой разностной схемы, показана на рис. 7.27.

Заштрихованная область показывает, как и ранее, приближенный размер зоны зависимости такого шаблона. Для нахождения решения необходимо знать значения величин на д-м и {п-1)-м слоях. Схема является явной и центрированной относительно точки (njjz). Производные по л: и 2 аппроксимируются в точке (п, /, k) центральными разностями. Производные вида д/дц{адф/дг]) представляются как среднее разностных производных Ё точках {п -\- I, ]\ k) и (п-1, /, k). Ограничения на шаги разностной сетки, накладываемые принципом влияния, имеют вид

xhlG zhгF

f >о.

<1.

плоскости г], г, можно найти при помощи осреднения лишь в направлении оси г, так как центр грани совпадает с сеточной линией, на которой k постоянно. Среднее значение G на грани, параллельной плоскости x, г], определяется путем осреднения по схеме зигзаг (или по диагонали). Проиллюстрируем процедуру осреднения на примере члена d{aG)/dz, входящего в уравнение неразрывности схемы Краузе. Если шаг сетки Дг постоянен, то