При F >0 никаких других формальных ограничений на устойчивость нет.

Китченс и др. [Kitchens et al., 1975] провел сопоставление четырех различных разностных схем расчета трехмерного пограничного слоя. Он показал, что одна из предложенных схем (схема D) отличается небольшим ростом ошибки и удачными условиями устойчивости. Кроме того, результаты, полученные по этой схеме, по-видимому, мало чувствительны к нарушению усло-

Рис. 7.27. Двухшаговая схема.

Рис. 7.28. Схема D [Kitchens et al 1975].

вий, накладываемых принципом влияния. На рис. 7.28 показана проекция шаблона, используемого при построении этой схемы, на плоскость х, г. Приближенный размер области зависимости рассматриваемой схемы показан заштрихованной областью. Описываемый метод неявный. Производные по х аппроксимируются в точке (д+ 1/2, /, k) центральными разностями, но при этом благодаря специальной аппроксимации производных из неустойчивой схемы удается получить устойчивую. При аппроксимации производной дф/дх значение неизвестной в узле (п, /, k) заменяется средним значением величин Ф,к+\ и фк-и Следовательно, на сетке с равномерным шагом мы получим

дф <V~O.5(0/%+i + 0/% O

Производные в поперечном направлении z аппроксимируются в точке (п, /, k) центральными разностями. Производные вида д/дГ]{адф/дц) заменяются средними значениями разностных про-

изводных в узлах (п+1, j,k) и (п, /, k). Погрешность аппроксимации такой схемы составляет О (Алс, (A2)Vx, (Aii), (Аг)) [Kitchens et al., 1975]. Для этого метода ограничения на шаги разностной сетки, накладываемые принципом влияния, имеют тот же вид, что и для двухшаговой схемы. В рассматриваемом случае ограничения, накладываемые условиями устойчивости и принципом влияния, совпадают.

7.7.4. Примеры расчетов

В этом разделе опишем результаты расчетов модельного трехмерного течения, показанного на .рис. 7.23. Расчеты были проведены по схеме зигзаг для случая ламинарного течения несжимаемой жидкости, т. е. решались уравнения (7.110) -(7.112). В последних по z узлах разностной сетки расчеты проводились по схеме Кранка - Николсона, что позволяло избежать необходимости задавать условия на {k+ 1)-м слое по z. Результаты расчетов такого течения, проводившихся несколькими исследователями, описаны в ряде работ (укажем, например, на работу Цебеци [Cebeci, 1975]). В рассматриваемом случае скорость невязкого потока определяется соотношениями

i,e = oofl+a2-Y ще = -2иа.

\ yj Yi

Здесь Uoo - характерная скорость набегающего потока, 71 = =={x - xoy + z, У2 = -(х -л:о)2 + г2, уз = {х - хо)2; лго -расстояние от оси цилиндра до передней кромки пластины, а - радиус цилиндра. Координаты х и z отсчитываются от передней кромки пластины и линии симметрии соответственно. Полезно выписать выражение для значения величины dus,e/dz в плоскости симметрии:

dz 2=0 (л: - л:о)

Расчеты были проведены для случая Uoo = 30.5 м/с, а = 0.061 м, л:о = 0.457 м на сетке с шагами Ал: = 0.0061 м, Аг] =0.28, Аг = = 0.0061 м. Типичные профили скорости для рассматриваемого течения показаны на рис. 7.29. В частности, заметим, что максимум вторичных течений расположен вблизи стенки на трети толщины пограничного слоя. Зависимость угла поворота потока (в плоскости л:, z) от расстояния до стенки показана на рис. 7.30(a). Максимальный скос потока наблюдается бблизи стенки. Направление вектора скорости меняется по нормали к стенке примерно на 13 Следовательно, в этой точке такой же

угол раскрытия имеет и область зависимости (см. рис. 7.24). На рис. 7.30(b) показано изменение коэффициента трения вдоль

8.0г-

8.0г-

0.5 1.0 (Ь)

Рис. 7.29. Профили скорости в трехмерном пограничном слое на пластине с установленным на ней цилиндром при х = 0.219 м. z = 0.079 м. (а) Профиль продольной составляющей скорости; (Ь) профиль поперечной составляющей скорости.

Рис. 7.30. Трехмерный пограничный слой на пластине с установленным на ней цилиндром, (а) Изменение по нормали к поверхности угла между направлением потока и плоскостью л:, г\ при = 0.219 м, 2 = 0.079 м; (Ь) изменение коэффициента трения вдоль плоскости симметрии.

оси X, Цилиндр, установленный на пластине, приводит к отрыву потока в плоскости симметрии при х « 0.26 м. Если расчет пограничного слоя проводится традиционными методами, то реше-