п+1 и

Рис. 7.31. Схема зигзаг, используемая при расчете нестационарных течений для аппроксимации производных в продольном направлении.

аналог производной в продольном направлении в том случае, когда эта производная аппроксимируется по схеме зигзаг:

ди Тх

2Ал:

(7.122)

Индекс / связан с координатой, нормальной к обтекаемой поверхности. Разностную производную (7.122) можно использовать при построении конечно-разностной схемы, центрированной относительно точки п + 1/2, t, /. Такую разностную схему можно рассматривать как модификацию схемы зигзаг, предложенной Краузе для расчета трехмерных стационарных пограничных слоев, на случай расчета двумерного нестационарного пограничного слоя.

Блочный метод Келлера с аппроксимацией производных по схеме зигзаг, который применялся для расчета трехмерных пограничных слоев, был модифицирован в аналогичный метод расчета нестационарных пограничных слоев. Эта схема применима и в том случае, когда возникает возвратное течение [Cebeci et al., 1979а].

может быть получено из анализа переходного нестационарного решения.

При возникновении возвратного течения для аппроксимации производной dujdx чаще всего используют адаптированную на нестацирнарный случай схему зигзаг, которую Краузе предложил для расчета трехмерных пограничных слоев. Такая разностная аппроксимация производной проиллюстрированна на рис. 7.31. Используя обозначения, показанные на этом рисунке, запишем для сетки с постоянным шагом Лл: конечно-разностный

7.8. Постройте гибридную конечно-разностную аппроксимацию величины vdu/dy при < О, аналогичную (7.27).

7.9. Проверьте условие устойчивости (7.30).

7.10. Проделайте все необходимые шаги для решения уравнения теплопроводности блочным методом Келлера. Проверьте уравнения (7.38) -(7.40).

При возникновении возвратного течения к неплохим результатам приводят и схемы с разностями против потока, предложенные Телионисом и др. [Telionis et al., 1973] и Мёрфи и Прен-тером [Murphy, Prenter, 1981]. В методе Мёрфи и Прентера производные по нормали к обтекаемой поверхности аппроксимируются с четвертым порядком точности.

Полезный обзор работ, посвященных расчету нестационарного пограничного слоя, проведен Блоттнером [Blottner, 1975]. Рекомендуем ознакомиться также с работами [Telionis et al., 1973; Tsahalis, Telionis, 1974; Telionis, Tsahalis, 1976; Cebeci et al., 1979b; Phillips, Ackerberg, 1973; Murphy, Prenter, 1981].

Задачи

7.1. Проверьте условия устойчивости, приведенные в п. 7.3.2 для двух вариантов простой явной схемы расчета уравнений пограничного слоя.

7.2. Пусть на {п+\)-м слое по маршевой координате необходимо вычислить величину {ди/дуУу где м - неизвестная. Рассматривается течение вязкой жидкости, jc -маршевая координата, а г/- расстояние, отсчитываемое по нормали к стенке. Используя линеаризацию по Ньютону, постройте такой конечно-разностный аналог величины (ди/дуУ, который не препятствовал бы итерационному решению алгебраических уравнений прогонкой и на каждой итерации был линеен относительно неизвестных.

7.3. Покажите, что уравнения (7.20) и (7.21) действительно сводятся к системе алгебраических уравнений с блочной трехдиагональной матрицей. Выпишите элементы блоков матрицы.

7.4. Проверьте соотношение (7.24).

7.5. Обобщите соотношение (7.24) на случай сетки с непостоянными шагами Дл: и Аг/ так, чтобы сохранить второй порядок точности схемы.

7.6. Рассмотрите неявный конечно-разностный аналог уравнения движения пограничного слоя

Как вы думаете, появятся ли при решении прогонкой полученной системы уравнений ограничения, связанные с величиной сеточного числа Рейнольдса при W > О, t; > О? Обоснуйте ваш ответ.

7.7. Повторите задачу 7.6 для разностного уравнения, полученного при замене второго слагаемого выражением

7.11. Покажите, что система уравнений (7.48) и (7.49) действительно .является системой уравнений с блочной трехдиагональной матрицей, при этом блоки имеют размер 2X2. Проверьте, действительно ли эта система уравнений имеет вид, допускающий решение методом модифицированной прогонки. Напомним, что метод модифицированной прогонки был описан в п. 7.3.3 как метод совместного решения уравнений движения и неразрывности.

7.12. Решите задачу 4.25 модифицированным блочным методом (соотношения (7.37)).

7.13. Выберите неявную схему (полностью неявную, Кранка - Николсона, модифицированную блочную схему). Напишите программу расчета на ЭВМ уравнений ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости на пластине в физических координатах (схема А) и в преобразованных координатах (схема В) (уравнения (7.52) и (7.53)). Проведите линеаризацию разностных уравнений при помощи либо метода запаздывающих коэффициентов, либо экстраполяции коэффициентов v и и. Уравнения движения и неразрывности решайте независимо. Решение полученной системы уравнений с трехдиагональной матрицей проведите прогонкой. Для схемы В выберите шаг Ач = 0.3, а для схемы А - из соотношения pWooAt/Zp. = 60. При расчете по схеме А толщина пограничного слоя будет расти с ростом х, поэтому в ходе расчета придется добавлять к расчетной области дополнительные узлы. Размер шага по маршевой координате можно увеличивать пропорционально толщине пограничного слоя. Для схемы А размер первого шага по маршевой координате выбирается из условия Лл: = риоо(АуУ12ц.

Сопоставьте схемы А и В по точности и простоте программирования. Для сравнения численного решения с точным выберите в качестве точного решения автомодельное решение уравнений пограничного слоя, представленное в виде таблицы в монографии Шлихтинга [Schlichting, 1979]. Вычислите коэффициент трения

CfVi (ди/ду) J{9uy2)

из полученного вами численного решения. Величину (ди/ду) w найдите, построив интерполяционный полином второго порядка для прилежащих к стенке узлов. Ограничьтесь проведением 75 шагов в продольном направлении. Проверьте чувствительность метода к величине шага по маршевой координате. Проведите расчеты при Ал: = 16, 26, 4. Для схемы В проверьте, как задание начальных условий влияет на точность полученных результатов. Для этого сначала проведите расчет в продольном направлении, задав в качестве начального условия для уравнения движения v = О при д: = О, а потом повторите этот расчет, определяя v при jc = О итерационно (используя уравнение неразрывности).

7.14. Повторите задачу 7.13 со следующими изменениями: выберите неявную разностную схему и форму записи уравнений пограничного слоя (в физических или преобразованных координатах). В качестве схемы А выберите схему с линеаризацией методом запаздывающих коэффициентов, а в качестве схемы В - схему с линеаризацией по Ньютону при совместном решении уравнений неразрывности и движения.

7.15. Повторите задачу 7.13, используя уравнения пограничного слоя, записанные в физических или преобразованных координатах. Пусть далее схема А -любая неявная схема, выбранная вами, а схема В -явная схема (Дюфорта - Франела, «классики» или явная схема переменных направлений).

7.16. Модифицируйте разностную схему, использованную при решении задач 7.13-7.15, так, чтобы она позволила рассчитывать пограничный слой с заданным градиентом давления. Проверьте свою разностную схему, сравнив