F (т)) = и Tjj = ujf+i - значениена предыдущей итерации. Разлагая функцию F в ряд Тейлора в окрестности значения неизвестной на предыдущей итерации, получим

F (Л1 + Ал) = F Ш + F (Л1) Ал + .... (7.17)

В последнем выражении ряд оборван на члене, содержащем первую производную. Так как f(ni)Ал = 2л1Ал, то, выразив входящие в соотношение (7.17) величины через Wj-, получим выражение, совпадающее с (7.15).

Обе формы записи, одна, получающаяся при использовании приращений Ьи, и другая, получающаяся после исключения бм в результате подстановки, эквивалентны и встречаются в литературе. Последнюю форму мы используем в приведенных в этой главе примерах. Основное преимущество линеаризации по Ньютону связано с ускорением сходимости решения разностных уравнений при итерационной замене коэффициентов.

Проиллюстрируем применение рассматриваемого метода на примере полностью неявной (6=1) схемы, если рассчитывается несжимаемое течение, а уравнения, описывающие законы сохранения, решаются независимо. Наиболее ярко нелинейность проявляется в конечно-разностной аппроксимации члена риди/дх. Используя линеаризацию по Ньютону, запишем конечно-разностный аналог этого члена, полученный при использовании полностью неявной схемы, в виде

рИ+«г-01ГУ-<«ГЧ

Здесь единственной неизвестной является величина На

первой итерации считают, что в качестве величины можно использовать и. Немного другой результат получится, если мы проведем линеаризацию этого члена, записанного в математически эквивалентной форме рд{и/2) /дх.

Если описывающие законы сохранения уравнения решаются независимо, т. е. если из каждого такого уравнения определяется лишь одна неизвестная, то другие нелинейные члены уравнения pv ди/ду, д/ду{[х ди/ду) обычно вычисляются с помощью описанной выше простой итерационной замены коэффициентов.

Если при аппроксимации члена ри ди/дх используется линеаризация по Ньютону, что приводит к соотношению (7.18), а при аппроксимации остальных членов - простая итерационная замена коэффициентов, то в результате получается система уравнений с трехдиагональной матрицей, которая может быть решена обычной прогонкой без каких-либо модификаций. Вычисления на каждом шаге по маршевой координате повторяются

два или более раз, при этом каждый раз проводится указанная выше замена коэффициентов.

4. Линеаризация по Ньютону при совместном решении уравнений

Некоторые исследователи отмечают, что при итерационной замене коэффициентов в уравнении движения пограничного слоя скорость сходимости итераций на каждом шаге по маршевой координате может быть существенно повышена, если уравнения движения и неразрывности решаются одновременно. При применении метода Кранка - Николсона второй порядок точности достигался при использовании на каждом шаге по маршевой координате лишь одной итерации, если уравнения движения и неразрывности решались совместно [Blottner, 1975а]. Согласно Блоттнеру [Blottner, 1975а], процедура совместного решения уравнений предложена Дэвисом (R. Т. Davis) и использовалась в работах [Werle, Bertke, 1972; Werle, Dwoyer, 1972]. В качестве примера опишем процедуру совместного решения уравнений для случая полностью неявной схемы расчета течения несжимаемой жидкости с постоянными свойствами.

Член и ди/дх аппроксимируется в соответствии с соотношением (7.18). Для линеаризации члена vdu/dy воспользуемся соотношениями v*}- = t)«+i + и и"}- = + б„. На первой итерации в качестве и обычно выбирают vj и и соответственно. После отбрасывания членов, содержащих произведения приращений 8v и бм, получим следующее представление величины V ди/ду:

(7.19)

Такой же результат можно получить и при разложении в ряд Тейлора функции двух переменных v и ди/ду, если оборвать разложение на членах, содержащих первые производные.

Конечно-разностные аналоги уравнений неразрывности и движения записываются в виде

Ад; 2Ау

+ (7.21)

В этом примере коэффициент bj можно опустить, так как он равен нулю. Однако мы будем искать решение уравнений с учетом содержащего bj члена, так как полученные результаты пригодятся нам при решении других разностных уравнений этой главы.

Для любого значения / в левой части уравнения (7.22) содержатся четыре неизвестных ul и v- (если ЬфО,

то неизвестных пять). Очевидно, что в этом случае матрица коэффициентов уравнения уже не является трехдиагональной. Однако так как уравнение неразрывности может быть записано в виде

п+1 = п+1 («+1 + «4-1) (7 23)

2Ад: 2А

ТО уравнения (7.22) и (7.23) при их совместном решении образуют систему уравнений с блочной трехдиагональной матрицей (см. приложение В), блоки которой имеют размер 2X2. Разработан метод решения такой системы уравнений (см. также [Werle et al., 1973] или [Blottner, 1975а]), иногда называемый модифицированной прогонкой. При использовании этого метода сначала исключаются блоки, расположенные над главной диагональю. После этого неизвестные составляющие скорости вычисляются по рекуррентной формуле

u-- = E,u-:l + Ff + G,v-+l,

причем £/, Ff, Gf и vll определяются по приведенным ниже соотношениям. Условия на верхней границе пограничного слоя при / = / имеют вид

Ej = Oy Fju]" (заданное граничное условие), Gj = 0,

Для ТОГО чтобы сделать более ясной алгебраическую формулировку этой задачи, перепишем уравнение движения в виде

Bufl + Du- + Луг«+/ + av- + b,v-+l = С, (7.22)