§ 8.2. Уравнения Навье - Стокса в приближении тонкого слоя 517

Стокса в приближении тонкого слоя или параболизованных уравнений Навье -Стокса. В этот класс попадает несколько систем уравнений. Назовем некоторые из них: уравнения Навье-Стокса в приближении тонкого слоя, параболизованные уравнения Навье - Стокса, частично параболизованные уравнения Навье - Стокса, уравнения вязкого ударного слоя, конические уравнения Навье - Стокса.

Системы уравнений этого класса характеризуются тем, что их можно применять как в невязкой, так и в вязкой областях поля течения. Кроме того, во всех этих уравнениях содержится ненулевой градиент давления в нормальном направлении. Это совершенно необходимо для того, чтобы течения в вязкой и невязкой областях можно было бы решать одновременно.

Когда эти уравнения используются вместо полных уравнений Навье - Стокса, это имеет два очень больших преимущества. Во-первых, эти уравнения состоят из меньшего количества членов, что приводит к сокращению времени счета. Во-вторых, что более важно, в стационарном случае большинство систем этого класса состоит из гиперболически-параболических уравнений по координате в направлении основного потока (при соблюдении некоторых условий). Другими словами, уравнения Навье - Стокса «параболизуются» в продольном направлении. Как следствие этого их можно решать маршевыми методами типа применяемых в теории пограничного слоя, что уменьшает число измерений с четырех до трех пространственных. Тем самым достигается существенная экономия памяти и уменьшается время счета. В этой главе мы обсудим вывод уравнений, относящихся к типу уравнений Навье - Стокса в приближении тонкого слоя, и некоторые методы их решения.

§ 8.2. Уравнения Навье Стокса в приближении тонкого слоя

Формально нестационарные уравнения пограничного слоя можно получить, пренебрегая в полных уравнениях Навье - Стокса членами порядка I/Re и выше. Вследствие такого анализа порядка величин все вязкие члены с производными по направлению, параллельному поверхности тела, опускают, так как они существенно меньше вязких членов с производными по направлению, нормальному к стенке. Помимо этого, уравнение движения в нормальном направлении сводится к совсем простому уравнению типа уравнения (8.1) в декартовой системе координат, означающему, что нормальный градиент давления очень мал. В приближении тонкого слоя в нестационарных уравнениях Навье -Стокса вязкими членами с производными по

направлениям, параллельным поверхности тела, также пренебрегают, но остальные члены в уравнениях движения сохраняются. Одно из основных достоинств сохранения членов, которыми обычно пренебрегают в теории пограничного слоя, заключается в возможности прямого расчета отрывных и возвратных течений. Без труда рассчитываются также и течения с большими градиентами давления в нормальном направлении типа изображенных на рис. 8.1.

► а?

Рис. 8.2. Направление .осей системы координат при обтекании плоской пластины.

Концепция приближения тонкого слоя возникает также из детального рассмот1>ения типичных случаев численного решения полных уравнений Навье - Стокса при больших числах Рейнольдса [Baldwin, Lomax, 1978]. В этих расчетах значительная часть ресурсов ЭВМ тратится на вычисление нормальных градиентов в пограничном слое, так как для этого необходима сетка с очень малым шагом. В результате градиенты в направлениях, параллельных поверхности тела, обычно не разрешаются адекватным образом, даже если соответствующие вязкие члены и сохраняются в уравнениях. Следовательно, при численном решении уравнений Навье - Стокса во многих случаях имеет смысл опускать члены, которые не разрешаются адекватным образом, при условии что они малы. Эти соображения приводят к уравнениям Навье -Стокса в при0лижении тонкого слоя.

Упрощая полные уравнения Навье - Стокса в соответствии с приближением тонкого слоя, для изображенного на рис. 8.2 течения получаем в декартовой системе координат следующие уравнения:

§ 8 2. Уравнения Навье -Стокса в приблил<ении тонкого слоя 519 Уравнение неразрывности

dt дх ду dz -

Уравнение движения по координате х

Уравнение движения по координате у

Уравнение движения по координате z

-k i9uw) + (p«t. -)+ip + р) = 0. (8.5)

Уравнение энергии

дЕ, д д / ди 4 dv

- + - {Е,и+ри) + - [Etv + pv-iiu-g-jiiv--

-ir-k)+-k{E,w + pw)==0. (8.6)

Эти уравнения записаны для случая ламинарного течения, но их легко модифицировать и для турбулентного течения, используя методику § 5.4.

Для тел более сложной формы необходимо отобразить поверхность тела из физического пространства на вычислительное и уже в нем применять приближение тонкого слоя. Зададим это отображение преобразованием общего вида

g = (x, у, г, /), Л = Л(л:, у, г, /),

S = S(, У. О,

t = t,

и пусть поверхность тела определяется уравнением г] = О (рис. 8.3). Преобразованные уравнения в строго дивергентной форме имеют вид

U,, + Eg.4-Fg, + 0S.-)Q (8.8)

где / - якобиан преобразования и U, Е, F и G определяются уравнениями (5.44). Теперь применим приближение тонкого