СЛОЯ к преобразованным уравнениям Навье -Стокса. В рамках этого приближения можно пренебречь всеми вязкими членами, содержащими частные производные по направлениям g и По-

П = T?(x,y,z,t)

Поверхность тела

Рис. 8.3. ную (Ь).

Отображение

физической области течения

Поверхность тела

на вычислитель-

лученные уравнения тонкого слоя можно записать в следующем виде:

аЕз , д¥2 , д02 dS2

-

(8.9)

Ео - т

F, = 4-

G, = 4

U2 = U ,

pU 9uU + IxP pvU + l„p pwU + 1гР

puV + r\xP pvV + f\yp pwV + TI2P

{Et + p)V-tP рГ P«r + l,p pvW + lyP 9wW + lp {Et + p)W - ItP-

(8.10)

S, = -L

И все вязкие члены содержатся в

> it + Л + Vil) S + т (лА + %г, + %

(ril + л + Л1) t, + + 4,t;, + 4.t,) % + Л f Л1) [f iu +v + w\ + J +

(8.11)

Для компактности выражения (8.10) записаны через контрава-риантные компоненты скорости U, V и которые определяются в виде

V = Л + Л + yv + Лго;, (8.12)

и, V, W суть контравариантные компоненты скорости в направлениях, нормальных к поверхности постоянства g, т) и соответственно.

Хотя уравнения Навье - Стокса в приближении тонкого слоя существенно проще полных уравнений Навье -Стокса, все же требуются значительные ресурсы ЭВМ для их численного решения. Уравнения тонкого слоя образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений в частных производных относительно времени. Следовательно, для их решения можно использовать методы решения уравнений, зависящих от времени, как это обычно делают при решении уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа. Поэтому отложим обсуждение конечно-разностных методов решения уравнений тонкого слоя до гл. 9, в которой будут подробно рассматриваться методы решения полных уравнений Навье -Стокса.

§ 8.3. Параболизованные уравнения Навье - Стокса

Параболизованные уравнения Навье -Стокса получили в последнее время широкое распространение, потому что их применение позволяет весьма эффективно рассчитывать сложные стационарные трехмерные сверхзвуковые течения вязкого газа.

Эффективность такого расчета обусловлена применением маршевых по координате конечно-разностных схем, тогда как для решения полных уравнений Навье - Стокса применяются маршевые по времени схемы. Поэтому затраты ресурсов ЭВМ на решение параболизованных уравнений Навье--Стокса во всем поле течения для сверхзвукового потока сравнимы с затратами на расчет только невязкой части поля течения по уравнениям Эйлера или только вязкой части по уравнениям пограничного слоя. Далее, поскольку параболизованные уравнения Навье - Стокса справедливы и в вязкой, и в невязкой областях течения, взаимодействие последних автоматически учитывается в расчетах по этим уравнениям.

Термин «параболизованные» уравнения Навье -Стокса несколько неточен, так как на самом деле эти уравнения при выполнении некоторых условий образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений. Эти условия включают требования того, чтобы внешний невязкий поток был сверхзвуковым, а продольная компонента скорости всюду была положительна. Заметим, что последнее исключает возможность расчета отрыва в продольном направлении, хотя отрыв в поперечном направлении возможен. Еще одно ограничение связано с наличием продольного градиента давления в уравнении движения вдоль продольной координаты. Если этот член включать во всем поле течения, тогда происходит передача влияния вверх по потоку в дозвуковой части пограничного слоя, что делает маршевый метод плохо обусловленным. Это ведет к экспоненциально растущим решениям, часто называемым расходящимися. Было предложено несколько способов преодоления этого затруднения, и вкратце они будут обсуждены ниже.

8.3.1. Вывод параболизованных уравнений Навье - Стокса

В общем случае вывод параболизованных уравнений Навье-Стокса из полных уравнений Навье -Стокса является не таким строгим, как вывод уравнений пограничного слоя. По этой причине возникло несколько слегка отличающихся версий параболизованных уравнений Навье - Стокса. Их различие обусловлено типом рассматриваемого течения. Однако во всех случаях нормальные градиенты давления в уравнениях сохраняются, а вторые производные по продольному направлению опускаются.

Одно из самых ранних исследований с использованием параболизованных уравнений выполнили Рудман и Рубин [Rudman, Rubin, 1968]. Они рассчитали сверхзвуковое ламинарное течение в окрестности входной кромки плоской пластины (см.