(8.13)

рис. 8.1(a)). Рудман и Рубин получили параболизованные уравнения из полных уравнений Навье -Стокса при помощи разложения в ряд. Такой метод упрощения уравнений Навье - Стокса является альтернативой методу, основанному на анализе порядка величин и использованному в гл. 5 для вывода уравнений пограничного слоя. При разложении в ряд переменные сначала обезразмеривают по некоторым локальным характерным параметрам течения, чтобы можно было оценить порядок величин разных членов в уравнениях Навье - Стокса. Затем производят разложение в ряд. Рудман и Рубин предложили делать это в следующем виде:

P = Pcop;ef(Po + Pl+ •

t = tj:,{ti + st; +

x = x*L, y = y% 6 = 6*L,

где член с нижним индексом ref есть характерный местный параметр течения, обезразмеренный по параметру свободного потока, L -характерная длина по координате х и б -характерная длина по координате у. Первый член разложения, обозначенный нижним индексом О, используется для получения решения нулевого порядка, тогда как для получения решения первого порядка необходимы и первый, и второй члены. Для относительно тонкой возмущенной области, показанной на рис. 8.1 (а), нормальные к поверхности градиенты много больше градиентов в направлениях, параллельных поверхности, и б* можно полагать малой величиной.

Подставляя это разложение в двумерные стационарные уравнения Навье -Стокса, получаем следующие безразмерные уравнения (для удобства нижний индекс О опущен):

Уравнение неразрывности

Уравнение движения по координате х •«-F+PV; = -Afl +

Уравнение движения по координате у * . dv* f AY

др* 1 \4д( . ду*\ ,

Уравнение энергии

. . аг, . . йг, . ди* dv*

д ( , дГ \

ду ду* )

ду Y-1

Рг (6*)*Re„f ду* ду

+ (*)Чт Kw) +T laj "

т Rere

дуди* dv

дх* ду

+ 2ц

дх ду* А

+ 2ц

ди ди

диЪ difii

+ .0

A(Reref)

(6?(Reref)~,

(8.17)

В выписанных выше уравнениях

а газ полагается совершенным.

Следующий шаг состоит в том, чтобы выявить члены, которыми можно пренебречь по сравнению с другими в уравнениях (8.14) - (8.17). Для этого необходимо оценить порядки величин Rcref, и (Д/б*)2 в различных областях поля течения. Из теории пограничного слоя известно, что в тонком вязком слое величина Rcref имеет порядок 1/(6*) 2. К тому же на начальном участке вязкого слоя пропорционально (М)"\ так как здесь r*gj=l. Для сжимаемой жидкости из теории пограничного слоя [Schlichting, 1968] следует, что может достигать максимального значения порядка {у-1)/(2Ау), где А изменяется от Рг-/2 для случая адиабатической стенки примерно до 4 в пределе холодной стенки. Поэтому для большинства случаев мы можем положить, что А <С 1 при Моо 5. Рудман и Рубин [Rudman, Rubin, 1968] показали, что (А/б*) 1 в области слившихся слоев. Ниже по течению в области сильного взаимодействия (А/б*)2 очень велико вблизи стенки и уменьшается до величины порядка единицы на внешней границе пограничного слоя. Теперь с учетом информации об относительных величинах Rcref, А и (А/б*) 2 в различных областях поля течения можно упростить уравнения (8.14) - (8.17). Выписывая систему урав-

Уравнения нулевого порядка справедливы на начальном участке поля течения вокруг входной кромки, когда Моо 5, тогда как уравнения первого порядка - при Моо 2. Уравнения нулевого порядка были получены в пренебрежении членами порядка (б*)2, А и 8. Так как е - коэффициент при членах пер-

нений нулевого порядка (Моо 5), мы можем пренебречь членами порядка (6*) д2 и 8, но обязаны сохранить члены порядка (А/б*)2. Поэтому уравнения неразрывности и движения по координате у уже не упрощаются. С другой стороны, уравнение движения по координате х упрощается, поскольку можно опустить член с продольным градиентом давления, а уравнение энергии сводится к уравнению

ди/ду* = 0. (8.18)

Объединяя уравнение (8.18) с уравнением движения по координате X, находим

и* = const = 1 или и = Кео. (8.19)

Очевидно, что этот результат тривиален (применим только для невозмущенного потока), и мы вынуждены сохранять члены более высокого порядка [(б*)2, и е], чтобы уравнение энергии имело смысл. Отметим, что можно избавиться от многих членов высокого порядка при помощи уравнения (8.19). Окончательно уравнения нулевого порядка в размерной форме запишутся в виде

Уравнение неразрывности

+ = 0. (8.20)

Уравнение движения по координате х

ди . ди д ( ди\ /о о1\

Уравнение движения по координате у до , до др , 4 д f dv\ .

Уравнение энергии