-1/2

Поэтому в настоящей задаче обтекания входной кромки плоской пластины необходимо иметь начальное приближение для входного участка. Точно так же обстоит дело и во всех других задачах, в которых решаются параболизованные уравнения Навье- Стокса. В рассматриваемой задаче допустимо пользоваться начальным приближением, локализованным вблизи входной кромки, поскольку это оказывает малое влияние вниз по потоку. Так происходит оттого, что только малый расход проходит между пластиной и ударным слоем именно в этом начальном сечении по сравнению с расходом между пластиной и ударной волной в сечениях, расположенных ниже по потоку. В других задачах начальное приближение будет оказывать некоторый эффект на течение вниз по потоку и во многих случаях начальное приближение следует определять точно.

В параболизованных уравнениях Навье - Стокса, полученных Рудманом и Рубином, отсутствует член с продольным градиентом давления, чтобы не было влияния вверх по потоку в дозвуковой части пограничного слоя. В результате эти уравнения обнаруживают строго параболическое поведение в области пограничного слоя. Именно по этой причине Дэвис и Рубин [Davis, Rubin, 1980] называют эти уравнения параболическими уравнениями Навье - Стокса вместо параболизованных. Последний же термин они используют для обозначения системы уравнений, содержащих продольный градиент давления.

Параболизованные уравнения Навье -Стокса, которые вывели Рудман и Рубин, использовались для расчета течений в окрестности входной кромки для двух- и трехмерных конфигураций, включая плоские пластины, двухгранные углы, конусы и концы крыльев (библиографию см. в [Lin, Rubin, 1973b]). Трехмерные уравнения получаются аналогично двумерным. Сначала обезразмеривают координаты л:, у, z по L, б, и б соответ- ственно. Скорости и, v, w обезразмеривают по F, F6 и V6* соответственно, где б* =6/L и б; = в/1. Члены порядка (6)2, (б*)2, 6*6* и т. д. считаются малыми. После подстановки в уравнения Навье -Стокса разложения в ряд и отбрасывания

вого порядка, их порядок будет определяться наибольшей из величин (б*)2 и Д2. Как показали Рудман и Рубин, чтобы величину (б*) 2 можно было полагать очень малой 0.05), следует считать уравнения нулевого порядка непригодными выше точки, в которой « 2, где %оо - параметр сильного взаимодейст-

вия, определенный как

dw . dw . dw dp . 4 d f dw\ .

dx dy

, d с dw \ , d / du\ 2 d С dv , du\ , d Г dv\

(8.27)

Уравнение энергии дТ , dT , dT (du . dv , dw\ .

Параболизованные уравнения Навье -Стокса, очень похожие на выведенные Рудманом и Рубином, получены независимо в работе [Cheng et al., 1970]. Причем эти уравнения содержат член с продольным градиентом давления. Вероятно, наиболее общая форма параболизованных уравнений Навье -Стокса [Lubard , Helliwell, 1973, 1974] получена в предположении, что вязкие члены с производными в продольном направлении (включая тепловые потоки) полагают малыми по сравнению с вязкими членами с производными в нормальном и поперечном направлениях. Иными словами, вязкие члены с производными в продольном направлении считаются порядка 0(1), тогда как вязкие члены с производными в нормальном и поперечном направлениях порядка О (Re[/). Следовательно, эти параболизо-

членов более высокого порядка малости получаем трехмерные уравнения нулевого порядка Уравнение неразрывности

+ = 0- (8.24)

Уравнение двиоюения по координате х

ди , ди . ди д f ди\ , д { ди\ лг\

Уравнения движения по координате у

dv . dv . dv dp . 4 д dv\ , д dv\ ,

. d du\ 2 d f du . dw \ , d f dw \ /о псч Уравнения движения по координате z

Уравнение движения по координате х ди , ди . ди др , д t ди\ . д t ди\

(8.30)

Уравнение движения по координате у Уравнение движения по координате z

Уравнение энергии

дТ , дТ , дТ Г ди , dv

, дТ . дТ f ди , dv , dw\ ,

Интересно сравнить эту систему параболизованных уравнений с той, которую получили Рудман и Рубин (уравнения (8.24) - (8.28)). Заметим, что уравнения неразрывности и энергии одинаковы, а уравнения движения отличаются. В частности, как отмечалось выше, уравнение движения по координате х содержит продольный градиент давления.

Теперь мы можем записать параболизованные уравнения Навье -Стокса в системе координат общего вида. Полные уравнения Навье - Стокса в этой системе координат записываются

ванные уравнения Навье -Стокса получаются путем простого отбрасывания из стационарных уравнений Навье -Стокса всех вязких членов, содержащих частные производные в продольном направлении. Результирующая система уравнений в декартовой системе координат выглядит так (х - продольное направление): Уравнение неразрывности