дозвуковой частью пограничного слоя и внешним невязким течением.

Чтобы лучше понять, отчего возникают расходящиеся решения, исследуем влияние продольного градиента давления па математическую природу параболизованных уравнений Навье- Стокса. Для простоты ограничимся двумерным случаем совершенного газа с постоянной вязкостью. В рамках этих допущений уравнения (8.29) - (8.33) могут быть представлены в векторном виде

дЕ , д¥ д¥у ду

дх ду

(8.41)

ри + сор puv

- puv pv + p

Y l P

(8.42)

jUy + vVy + T,

Обратим внимание на то, что в уравнении движения по координате X в качестве множителя перед градиентом давления в продольном направлении имеется параметр со. Так, если о) равно нулю, то продольный градиент давления в уравнении отсутствует, если же со равно единице, то полностью сохранен.

Если сначала рассматривать предельный случай невязкой жидкости, то уравнение (8.41) сводится к уравнению Эйлера

которое эквивалентно

H,]Q. + [5i]Q, = o,

(8.43)

(8.44)

И,] =

puv pf + -3

V-1

(8.45)

Это гиперболические уравнения относительно переменной х, при условии что собственные значения матрицы HiJ~[Si] вещественны (см. § 2.5). Собственные значения этой матрицы суть

X -

3,4 -

-Ь ± л/Ь - 4ас 2а

(8.46)

а = [y - (О (y - 1)] «2 - (Ш, b = -UV [1 + Y - 4(Y - I)].

с = 1,2 д2

и а - скорость звука. Если продольный градиент давления сохраняется полностью (т. е. ©=1), то легко показать, что все собственные значения вещественны, когда и -\- v или

1. Это обычное требование, которому необходимо удовлетворить, чтобы уравнения Эйлера можно было интегрировать маршевой по пространственной координате процедурой. Однако, как только в уравнении сохраняется хотя бы часть градиента давления (т. е. О ш 1), собственные значения будут оставаться вещественными даже в дозвуковых областях, если

l + (Y l)M

(8.47)

где Мд: = и/а. Это ограничение на продольный градиент давления получено в предположении, что нормальная компонента скорости v много меньше продольной компоненты и.

Рассмотрим далее предельный случай вязкой жидкости, игнорируя в уравнении (8.41) члены с первыми производными по у. Полученные при этом уравнения можно записать в виде

[A2]Qx = [B2]Qyy (8.48)

[2] =

[52] =

UV 2

-YP (Y - 1) Рг

YP Y-1

Р 2ри

р (Зи + о)

pu рмо

У" Y-1

(Y-l)pPr

(8.49)

Это параболические уравнения относительно переменной х, если собственные значения матрицы [Л2]~[52] вещественны и положительны (см. § 2.5). Собственные значения должны быть положительными, чтобы положительная вязкость приводила к демпфированию в продольном направлении. Собственные значения можно найти из следующего уравнения (полагая, что «#0):

4ir - Т) ((ir Я [V - со (Y - 1)] - со} +

+ я) {[со (V - I) - V ()] + } + #) = 0. (8.50)

Было показано [Vigneron et al., 1978], что определяемые из этого уравнения собственные значения будут вещественными и положительными, если

u>Q, (8.51)

со<

1 + (Y-1)M •

(8.52)

Из неравенства (8.51) следует запрет на обратные течения, тогда как неравенство (8.52) накладывает ограничение на продольный градиент давления, прежде задаваемое выражением (8.47). Из этого мы заключаем, что неустойчивость, обусловленная наличием продольного градиента давления в параболизованных уравнениях Навье - Стокса, имеет фактически невязкую природу.

Отметим, что правая часть неравенства (8.52), обозначенная через f(Mx), является функцией местного числа Маха по про-