538 Гл. 8. Решение параболизованных уравнений НавьеСтокса где

(1-со)р О О

(8.57)

и Е, F и Ft; определяются уравнениями (8.42). Параметр со вычисляется по уравнению (8.47) с некоторым коэффициентом запаса о:

со =---(8.58)

Виньерон и др. [Vigneron et al., 1978b] для анализа устойчивости использовали метод Фурье. Для уравнения (8.56) с опущенным членом дР/ду они применили простую неявную схему (неявную схему Эйлера), а производная дР/дх аппроксимировалась разностью назад. Как и ожидалось, они обнаружили, что если рассчитываемый на явном слое градиент давления опущен, то маршевый по пространственной координате метод будет всегда давать устойчивое решение, так как уравнения остаются гиперболически-параболическими. Если этот член остается, то возникает неустойчивость, когда Длс меньше некоторого (Ал:)т1п. Оказалось, что при со = О (Ал:)т1п задается зависимостью (8.55), что подтверждает результаты более ранних работ Лу-барда и Хеллиуэлла. Существуют и другие способы представления продольного градиента давления [Lin, Rubin, 1979; Bug-geln et al., 1980; Yanenko et al., 1980].

Bo многих задачах механики жидкости эллиптические, эффекты передачи влияния вверх по потоку сравнительно малы и в упомянутых выше методах удается предотвратить возникновение неустойчивостей, причем довольно точное решение получается за одно-единственное прохождение поля течения. В других задачах, в которых влияние распространения возмущений вверх по потоку велико (из-за отрыва, наличия следа или ударной волны и т. п.), эти методы оказываются несостоятельными. В результате возникает неустойчивость или предпринимаемые для ее подавления меры приводят к большим ошибкам. В этих случаях можно использовать процедуру глобальной релаксации по давлению [Rubin, Lin, 1980]. В ней сначала задается некоторое распределение давления во всем поле течения для определения градиента давления в каждой точке. Начальное распределение давления можно получить, либо полагая предельный градиент давления равным нулю, либо применяя

метод Виньерона с дР/дх = О, либо беря достаточно большие Дл:. Зная градиент давления, параболизованные уравнения Навье - Стокса можно решить с помощью устойчивой конечно-разностной маршевой процедуры при условии, что градиент давления аппроксимируется надлежащим образом. Это решение дает новое распределение давления, которое можно использовать для расчета градиента давления, необходимого при следующем прохождении расчетной области. Такая итерационная процедура продолжается до получения сходимости. Для адекватного моделирования эллиптического характера поля течения градиент давления должен влиять на течение вверх по потоку. Этого можно добиться, аппроксимируя его разностями вперед, т. е. когда вычисляется решение на слое i+l, градиент давления представляют в дискретном виде

Такого рода дискретизация возможна только при использовании глобальной релаксационной процедуры по давлению, так как обычно pi+2 нам неизвестно. Рубин и Лин исследовали устойчивость, когда др/дх аппроксимируется разностью вперед, и показали, что имеет место безусловная устойчивость. Однако мы приближаемся к границе устойчивости, когда дозвуковые области становятся очень большими.

Глобальная релаксационная процедура по давлению представляется многообещающей для задач, в которых влияние вверх по потоку существенно. Однако следует помнить, что эта процедура требует значительно больших затрат машинного времени, нежели типичные расчеты параболизованных уравнений Навье - Стокса с одним прохождением поля течения. В некоторых случаях затраты машинного времени сравнимы с теми, которые требуются для расчета полных уравнений Навье - Стокса. Следовательно, для этих задач параболизованные уравнения Навье -Стокса уже не обладают никакими преимуществами по сравнению с полными уравнениями Навье - Стокса.

8.3.3. Численное решение параболизованных уравнений Навье - Стокса

Как отмечалось ранее, параболизованные уравнения Навье - Стокса образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений относительно координаты х в продольном направлении при выполнении следующих условий:

1) невязкий поток сверхзвуковой;

2) продольная компонента скорости всюду отлична от нуля;

3) Градиент давления в уравнении движения по продольной координате либо опущен, либо неустойчивость подавляется одним из способов, описанных в предыдущем разделе.

Если эти условия соблюдены, параболизованные уравнения Навье - Стокса можно решать конечно-разностными методами, сходными с теми, которые используются для решения параболических уравнений пограничного слоя. Поэтому устойчивая маршевая по пространственной координате процедура может использоваться для получения решения во всей расчетной области, начиная с поверхности задания начальных данных и далее вниз по потоку до выходного сечения.

Некоторые из решений параболизованных уравнений Навье - Стокса, опубликованных ранее, были получены с использованием явных схем. Это было сделано скорее для удобства, нежели из соображений эффективности, так как в гл. 7 было показано, что неявные схемы для уравнений этого типа более эффективны. В более поздних работах для решения параболизованных уравнений Навье - Стокса применялись самые разные неявные алгоритмы: неявная схема переменных направлений Писмена - Ракфорда [Nardo, Cresci, 1971], неявные схемы с итерациями [Rubin, Lin, 1972; Lubard, Helliwell, 1973]. Схема предиктор-корректор с итерациями, которую предложили Рубин и Лин, была описана в п. 4.5.10, где она применяется для решения трехмерного линейного уравнения Бюргерса

tlx + cUy + = yi{Uyy + Uzz) (8.60)

Линейное трехмерное уравнение Бюргерса - полезная модель параболизованных уравнений Навье - Стокса, однако, разумеется, она не передает нелинейный характер последних. Так, когда схема предиктор-корректор с итерациями применяется к параболизованным уравнениям, то возникают нелинейные члены типа (JVi!/ ~ номер итерации, х = /Дл:, у = /Ду,

Z = kAz, Они линеаризуются методом Ньютона - Рафсона (см. п. 7.3.3), т. е. если f = f{xu лгг, ..., л:/), то

= г + t {-§гУ (хГ - хП (8.61)

где Xk обозначает зависимые переменные. Применение этой формулы к нелинейному члену {uT+u},kY дает

После линеаризации таким способом всех нелинейных членов получаемую систему алгебраических уравнений (на итерации