т+ 1) МОЖНО решать при помощи эффективной процедуры для блочных трехдиагональных систем. Итерирование продолжается, пока не будет получено сходящееся решение в сечении /+ 1. Этот метод неявный по координате у, градиенты по которой наибольшие, но явный по координате z (см. п. 4.5.10), что приводит к следующему условию устойчивости для трехмерных параболизованных уравнений Навье - Стокса:

Лл:<Аг-. (8.63)

До недавнего времени параболизованные уравнения Навье-Стокса решались при помощи неявных разностных схем с итерациями вроде той, которая была описана выше. Виньерон и др. [Vigneron et al., 1978а] впервые предложили более эффективную неявную приближенно факторизованную схему без итераций. Этот алгоритм, принадлежащий к классу неявных схем переменных направлений, разработан целой группой авторов [Lindemuth, Killeen, 1973, McDonald, Briley, 1975; Beam, Warming, 1978] и приспособлен для решения зависящих от времени уравнений, например уравнений Навье - Стокса. Чтобы разобраться в нем, применим его для решения трехмерных параболизованных уравнений Навье - Стокса, записанных в декартовых координатах [х - продольное направление) в случае совершенного газа. Тогда

1х, г\ = у, = z (8.64)

и уравнения (8.37), (8.38) сводятся к уравнению

Е = Еь F = F~F„ G = G~G,. (8.66)

Векторы Е/, Р/, О,-, Ft, и Gv задаются выражениями (8.35) и содержат параболизованные члены со сдвиговыми напряжениями и тепловыми потоками

Ьу = Уг\(у-г). (8.67)

Хху = \lUy, X = U, Xy =\{Vz+ Wy),

Ях = 0, Яу = -kTy, = -kT.

Чтобы, следуя Виньерону, представить градиент давления в направлении течения, Е можно заменить Е+Р; тогда уравне-

ние (8.65) примет вид

дх дх ду dz »

(8,68)

(8.69)

Решение уравнения (8.65) получается маршевым по координате X методом с использованием следующей разностной формулы, предложенной Бимом и Уормингом [Beam, Warming, 1978]:

1+62 дх - 1 + вг дх 1 + 62 + 0[(9,-4--е2)(Ад:)2 + (А)з],

А*-Е +

(8.70) (8.71)

и X = 1Ах. Эта разностная формула общего вида за счет выбора параметров 9i и бг позволяет получать многие обычные разностные схемы, которые перечисляются в табл. 8.1. Для параболизованных уравнений Навье - Стокса используется обычно либо неявная схема Зйлера первого порядка (0i = 1, 02 = 0), либо трехточечная схема второго порядка с разностями назад (9i = 1, 02=1/2). Как показали Бим и Уорминг, неявная центрированная по времени схема второго порядка (0i= = 1/2, 02 = 0) приводит к неустойчивости в случае ее применения к параболическим уравнениям. Отметим, что в табл. 8.1

Таблица 8.1. Разностные схемы для уравнения (8.70)

Приводится ошибка аппроксимации для Де. Когда в разностной схеме производная дЕ/дх заменяется на Ае/Дл:, ошибка делится на Длс.

Подстановка уравнения (8.65) в (8.70) дает

(F)-.--(Q)] + J-E, (8.72)

где член с ошибкой аппроксимации опущен. Это разностное соотношение записано в так называемой дельта-форме, упомянутой в п. 4.4.7. Дельта-члены де, дф и до, которые можно записать в виде

де = де + др,

др = др,-др„ (8.73)

до = д0/~до„,

линеаризуются разложением в ряд Тейлора. Чтобы линеаризовать невязкие дельта-члены де дф и дю/, воспользуемся тем фактом, что е р/ и являются функциями только вектора u:

(8.74)

Например, F,- можно выразить через компоненты вектора U следующим образом:

U2U,

-H(v-.)(.,-)

иги.

(8.75)