544 Гл. 8. Решение параболизованных уравнений Навье -Стокса Следовательно, мы легко можем разложить Е, Рг и О; в ряд

(рО+ = (р,)Ч(4УАи + 0[(Л;сЛ. [(ОЛ- = (0.) + ()Аи + 0[(Ал:У

(8.76)

AE = [Q]aU + 0[(Ajc)2],

Fl = [RY\} + 0[{xn (8.77)

% = [sY\i-\-o[ixn

где [Q], [R] и [5] - матрицы Якоби dE/dV, dFi/dl} и dOi/dV:

эи"

(8.80)

Выражение для матрицы Якоби dEydV получено в предположении, что 0) локально не зависит от О,

Вязкие дельта-члены можно линеаризовать методом, который предложил Стегер [Steger, 1977]. В нем коэффициенты вязкости \i и теплопроводности k считаются локально не зависящими от и и пренебрегают вязкими членами со смешанными производными. В результате элементы Ft, и Gt, имеют следующий общий вид:

(8.81)

где а* не зависит от U, а - функция U. Эти элементы линеаризуются следующим образом:

-/ = 1

+ o[ixf

+ 0[{Axfl

(8.82)

так что можно записать

Лр, = [К]ди + 0[(Ад;)2], Д0„ = [Г]Аи + 0[(Дл:)2],

где [V] и [W] - матрицы Якоби dFv/dV и dGo/dU:

(8.83)

(8.84)

(8.85)

В (8.84) и (8.85) (Э; и (З обозначают частные производные д/ду и d/dz.

. Подставляя теперь (8.73), (8.77) и (8.83) в уравнение (8.72), получаем

riElV 4- QjA М (dFi dFv\ , J fdGi дОу МО .i \ dV ) I+Q2 Idy \dU dV J dz \ dU dV

(F) + (g)] + yA-E-Ap, (8.86)

где запись

обозначает

д / dFj dFy

Idy \ dV

dylKdV dV

и частные производные в dFv/dV и dGv/d\J следует брать от всех членов в них входящих, включая AU. Заметим, что в уравнении (8.86) все неявные члены находятся в левой части, а явные - в правой. Включенный в правую часть уравнения градиент давления ДФ, взятый на явном слое, можно аппроксимировать соответствующей разностью назад. В соответствии с неявной схемой Эйлера такой конечно-разностной формулой первого порядка является

ДФ = д»-1р + 0.(А;с)2,

(8.87)

тогда как в схемах второго порядка с разностями назад можно использовать следующую, формулу:

ДФ = 2Д-Ф ~ А-2Р + О [{Ах)%

(8.88)

Левая часть уравнения (8.86) приближенно факторизуется таким образом:

\l\ dV ) \+Q2 dz \

dV dU

Lv"r; \ + Q2 dy К dv Л i

= правая часть уравнения (8.86).

(8.89)

Точность этого факторизованного выражения можно oпpeдeJ лить, выполняя перемножение и сравнивая результат с левой