Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

412 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя Зная их для / = / - 1, / - 2, ..., 2. можно вычислить

D, = D, + AjEj, - е, (Л/0/+, + а,),

1 - +1 -1И/Д/+1 + Ду) A,Gf+i + О/ + ft/

Используя далее условия на нижней границе, найдем, что ytt+i Q «+1 = 0. После этого по формулам

t«+i = £,t«+/ + f, + G,t,-j:/, п+1 = «+1 («+1 + +

вычисляются составляющие скорости при / = 2, /. Описанная процедура сводится к обычной скалярной прогонке (в том случае, когда расположенные над главной диагональю элементы исключены), применяемой для решения системы уравнений с трехдиагональной матрицей, если а/, 6/, ej и dj положить равными нулю. Описанная система уравнений может быть решена и с использованием общего алгоритма решения систем уравнений с блочной трехдиагональной матрицей, который описан в приложении В. Однако приведенный в этом разделе алгоритм эффективнее, так как он предназначен специально для решения систем уравнений вида (7.22) и (7.23).

Эту процедуру можно использовать и для расчета течений сжимаемого газа с переменными свойствами (см. [Blottner, 1975а]). В этом случае уравнение энергии почти всегда решается независимо.

5. Экстраполяция коэффициентов

Значения коэффициентов на (n-f 1)-м слое можно получить, экстраполируя значения, уже известные на п предыдущих слоях. Формально при этом можно в соответствии с нашим желанием обеспечить любую сколь угодно малую погрешность аппроксимации. Например, мы можем написать

и-- = и- + x + 0{xf.



получаем следующее выражение для величины которое

формально имеет погрешность аппроксимации О (Ал:) 2;

иЧ+ = + \J Ах + 0 {{АхП

Аналогичную процедуру можно использовать и для вычисления других необходимых на {п+1)-м слое коэффициентов. Рассматриваемый подход был успешно применен для расчета пограничного слоя Харрисом [Harris, 1971].

Рекомендации, Во многих случаях при проведении расчетов пограничного слоя линеаризация коэффициентов и, v и свойств жидкости (если рассматриваются течения с переменной температурой), осуществляемая методом запаздывающих коэффициентов, не приводит к существенному снижению точности получаемых результатов. Вносимая такой линеаризациец погрешность является просто погрешностью аппроксимации, и ее величина определяется размером шага по маршевой координате. Используя этот подход, многие исследователи получили удовлетворительные результаты. В тех случаях, когда такая линеаризация ведет к возникновению каких-либо специфических затруднений, мы советуем применять экстраполяцию коэффициентов или линеаризацию по Ньютону при совместном решении уравнений неразрывности и движения.

Первый подход не требует проведения итераций и, следовательно, более экономичен с точки зрения затрат машинного времени. Защищая метод экстраполяции коэффициентов, Макдо-нальд [McDonald, 1978] отметил, что если итерации проводятся лишь для уменьшения связанной с линеаризацией погрешности аппроксимации, то при тех же затратах машинного времени точность расчета можно повысить, уменьшая шаг по маршевой координате. При этом одновременно уменьшается погрешность, связанная с аппроксимацией производных по маршевой координате. Требуемая точность получения результатов зависит от решаемой задачи. Однако ясно, что для решения задачи желательно использовать согласованную разностную схему, позволяющую при расчете получить погрешность, меньшую любой заранее заданной величины. Особо отметим, что при расчете турбулентных течений неопределенность экспериментальных

Аппроксимируя производную {ди/дх)1 лишь с первым порядком точности, например по формуле



дх ду можно представить в виде

ди . ди .(2.;?-«г)(3"Г-К+"Г) ,

дх ду ~~ 2Да:

+ °-°?-if-"•-)+0(Л.)+0. (7.24)

Обобщение этого представления конвективного члена на случай отличных от константы шагов сетки Ах и Ду связано с незначительным усложнением алгебраических выражений [Harris, 1971].

Существует еще одно существенное ограничение на исполь-зованиие рассматриваемых неявных разностных методов расчета пограничного слоя. Если выбранные шаги сетки таковы, что конвективный перенос (в уравнении движения или энергии) преобладает над диффузионным переносом, то возникает во многом похожее на численную неустойчивость поведение решения, хотя метод Неймана не указывает в этом случае на возник-

данных, используемых для проверки результатов расчета, а также неточность моделей турбулентности приводят к тому, что проводить расчеты с погрешностью, меньшей нескольких процентов (по крайней мере 3-5%), не имеет смысла. Поэтому целесообразность использования для расчета таких течений схем высокого порядка точности (имеющих высокий порядок аппроксимации) определяется лишь возможностью экономии машинного времени, так как эти методы позволяют применять более грубые сетки.

Замечание об устойчивости. Обычно предполагают, что при 91/2 неявные разностные схемы абсолютно устойчивы (по Нейману). Схема Кранка - Николсона удовлетворяет условию абсолютной устойчивости при минимально допустимом значении 9. Однако это условие устойчивости получено для линейных уравнений, а обобщение его на нелинейные уравнения носит эвристический характер.

Иногда, особенно при расчете турбулентных течений, схема Кранка - Николсона становится неустойчивой, поэтому более популярной является полностью неявная схема. При ее использовании формально второго порядка точности можно достичь, применяя трехточечную аппроксимацию производных по маршевой координате и экстраполяцию коэффициентов. Например, если шаг сетки постоянный, то конвективный член

ди , ди



0 1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110