дискретизируется как

а каждый элемент вязкого члена

(8.92)

имеющий вид

дискретизируется как

{а [д (fiAUi)fdy]}iy, - {а [д ifiUt)fдy]

.(«/ + «/+0 - (Р/)/] - («У + [(PAO/-(PAt/,)y i]

~ 2 (А«/)«

(8.93)

Задаваемый уравнением (8.89) алгоритм реализуется следующим образом:

частью уравнения (8.86). Проделав это, получим

КдЕ у , Bi Ал: Г д ( dFj dFv \ , J f dGi dGrj\-\ V ,

, r ixy д (dGj dGvYlf dE

("Я ~ Правая часть уравнения (8.86), (8.90)

так что

Левая часть уравнения (8.89) =

= Левая часть уравнения (8.86) + О [(Дл:)2]. (8.91)

Следовательно, приближенная факторизация не влияет на формальную точность конечно-разностного алгоритма.

Частные производные д/ду и д/дг в уравнении (8.89) аппроксимируются центральными разностями второго порядка точности. Например, невязкий член

548 Гл. 8. Решение параболизованных уравнений Навье -Стокса Шаг 1

г/ дЕ у 9, Ал: д ( dGi dQ„ yi .,

= Правая часть уравнения (8.86). (8.94)

Шаг 2

Шаг 3

(8.95)

Шаг 4

U+ = U + AU.

(8.97)

На шаге 1 из решения системы уравнений (8.94) определяется векторная величина AUi:

Эта система уравнений имеет блочную трехдиагональную структуру

[Bl] [С.]--------

[Аг] [Bj] IC2]

Из] [Вз] [Сз],

[Лк-i] IBk-i] [Ck-i] ------[Ак] [Вк]

[Д11].

[Д1/.]аг-,

[RHSJ, [RHS], [RHS],

[RHS]jc ,

IRHS]x:

(8.98)

где [Л], [В] и [С]-матрицы размером 5X5, [AUi] и [RHS] - вектор-столбцы, элементы которых суть компоненты векторов AUi и правой части уравнения (8.86). Эту систему можно решать, используя процедуру, описанную в приложении В. Определив AUi, на шаге 2 этот вектор-столбец умножают на {дЕ/дИ), что позволяет избежать в процессе решения необходимости вычисления обратной матрицы [(<ЗЕ/<?и)]-. На шаге 3 блочная трехдиагональная система решается по направлению у. Наконец, на шаге 4 вектор неизвестных в слое i+ 1 (т. е. и+) определяют просто добавлением AU к вектору

W" (8.99)

, ,, U[ (+1)2+ (,+1)2+ (/+1)2 + 2

В алгоритмах такого типа для подавления высокочастотных осцилляции часто приходится добавлять сглаживание. Это легко осуществляется добавлением к правой части уравнения (8.86) на явном слое диссипативного члена четвертого порядка

- 8, т + {АгГ -g- (UO]. (8.100)

На формальную точность алгоритма добавление члена четвертого порядка малости не влияет. Отрицательный знак перед ним необходим для того, чтобы демпфирование было положительным [см. уравнение (4.21)]. Для устойчивости сглаживающий коэффициент Ее должен быть меньше 1/16. Члены с четвертыми производными рассчитываются по следующим конечно-разностным выражениям:

(У)(иО « k - 4Ui. k + 6Uj, k - 4U}-,. k + Uj.2.

Шифф и Стегер [Schiff, Steger, 1979] разработали неитерационный неявный алгоритм, аналогичный только что описанному. В этом алгоритме, а также в алгоритме, разработанном Виньероном и др. [Vigneron et al., 1978 , решение получают при помощи вычислительных плоскостей (т. е. поверхностей, на которых определяют решение), нормальных к оси тела. Большинство конфигураций могут быть рассчитаны подобным образом. Однако в случае тел, поверхность которых сильно наклонена по отношению к набегающему потоку, осевая компонента

неизвестных в слое L Затем можно из U+ найти примитивные переменные: