скорости в невязкой области может стать дозвуковой, что делает дальнейшие вычисления невозможными. Чтобы обойти эту трудность, было предложено [Tannehill et al., 1982] использовать описанную выше разностную схему для параболизованных уравнений Навье - Стокса, записанных в неортогональных координатах общего вида (8.37) -(8:39)). В результате ориентация каждой поверхности решения ( = const) в достаточной степени остается произвольной, так что она может быть выбрана наиболее подходящим для данной задачи образом. Обычно оптимальная ориентация достигается тогда, когда эта поверхность почти перпендикулярна местному направлению потока. Аналогичным образом для достижения оптимальной ориентации вычислительных плоскостей в метод Лубарда - Хеллиуэлла была введена неортогональная система координат [Helliwell et al., 1980].

Были предложены и другие неявные алгоритмы решения параболизованных уравнений Навье - Стокса, использующие соответствующим образом расщепленную неявную линеаризованную блочную (LBI) схему [McDonald, Briley, 1975; Briley, McDonald, 1980] и неявную факторизованную схему с итерациями [Li, 1981]. Неявная линеаризованная блочная схема Макдональда и Брайли имеет такую же структуру, что и схема Бима - Уорминга в дельта-форме.

§ 8.4. Методы решения параболизованных и частично параболизованных уравнений Навье - Стокса для дозвуковых течений

В предыдущих разделах рассматривались течения, которые являются сверхзвуковыми в большей части рассматриваемой области. В данном параграфе мы обсудим два подхода, используемых для дозвуковых течений. В обоих рассматриваются параболизованные уравнения Навье - Стокса и отличаются они только тем, как в них рассчитывается давление.

8.4.1. Параболические процедуры для трехмерных внутренних течений

Этот подход применяют для внутренних течений, в которых можно выделить преобладающее направление. Компонента скорости в этом основном направлении должна быть положительной, т. е. обратное течение в направлении основного потока запрещено. На компоненты скорости вторичного течения ограничений нет. Как и для всех форм параболизованных уравнений Навье - Стокса, диффузией в продольном направлении пренебрегают.

Прежде чем продолжить наше рассмотрение, заметим, что параболизованные уравнения Навье - Стокса будут допускать для дозвуковых течений передачу влияния в продольном направлении через градиент давления, о чем шла речь в п. 8.3.2. В настоящем подходе эллиптический характер поведения в продольном направлении подавляется применением аппроксимации, которая впервые была предложена в работе [Gosman, Spalding, 1971]. Этот подход удобно рассмотреть на примере прямого канала прямоугольного сечения. Тогда уравнения сохранения могут быть записаны в декартовой системе координат. Аналогичным образом рассматриваются течения в искривленных каналах с постоянным поперечным сечением, но при этом должна быть использована другая система координат. Брили и Макдональд [Briley, McDonald, 1979] распространили трехмерную параболическую модель течения на случай более общей геометрии.

Пусть ось канала совпадает с направлением оси х. Тогда координатные плоскости (у, z) перпендикулярны направлению основного течения. Запишем уравнения в виде, пригодном как для ламинарных, так и для турбулентных течений. Переменные будем считать величинами, осредненными по времени. Аналогичным образом мы поступали в гл. 7. При выборе параболизованных уравнений Рейнольдса ламинарной и турбулентной диффузией в продольном направлении будем пренебрегать. Более того, поскольку мы рассматриваем только дозвуковые задачи, то будем считать, что ри/рй, pv/pv и pw/pw столь малы, что нет различия между величинами, осредненными обычным способом и с использованием плотности в качестве весовой функции. Членами с флуктуациями давления в уравнении энергии также будем пренебрегать. Символами t и будем обозначать напряжения и тепловые потоки соответственно как молекулярного, так и турбулентного происхождения. За исключением членов с градиентами давления, уравнения трехмерной параболической процедуры выводятся из уравнений (5.68), (5.73) и (5.84). После упрощающих допущений они выглядят так:

Уравнение неразрывности

\риЛ = const (полный расход газа), (8.102Ь)

Уравнение движения по координате х

ди ди ди dp дху дх

Уравнение движения по координате у

dv dv dv dp dx,.,. dx,,

Уравнение движения no координате z

dw dw dw dp [dx,, dx

Уравнение энергии Уравнение состояния

P = P.(P, П (8.107)

В аппроксимации давления по Госману и Сполдингу [Gos-man, Spalding, 1971] давление р определяется только при помощи уравнения движения по координате х, причем считают, что оно изменяется только по направлению х. Давление р будет найдено по заданному полному расходу массы. Во многом это сходно с тем, как поступают в случае двумерных и осесимметричных течений, рассчитываемых по уравнениям тонкого сдвигового слоя. С другой стороны, давление р, входящее в уравнения движения по направлениям у и г, изменяется в поперечном сечении канала. Предполагают, что статическое давление в канале равно сумме ]б и р.

Физические соображения в пользу такой процедуры разложения давления состоят в том, что изменения давления поперек канала столь малы, что включение их в уравнение движения в продольном направлении дает пренебрежимо малый эффект. Поэтому в проекции уравнения движения на продольное направление пренебрегают изменениями давления в поперечном сечении. С другой стороны, эти малые изменения давления включают в уравнения движения по направлениям у w г, так как они играют важную роль в распределении обычно малых компонент скорости по направлениям, нормальным к стенкам. Для определения р не требуется информация снизу по потоку; р есть функция только х и может быть найдено однозначно в каждом поперечном сечении по заданному полному расходу и уравнениям движения. Это позволяет свести задачу к параболической. С другой стороны, так как р зависит как от у, так и от г, то для дозвуковых течений уравнения являются эллиптическими в плоскости у, Z. Фактически для р(у, г) в поперечном