сечении можно вывести уравнение Пуассона из уравнений движения по направлениям у и z. Глобальная процедура вычислений требует тогда решения эллиптических уравнений в каждой поперечной плоскости, а при продвижении по координате х решение получают, используя параболическую процедуру.

В соответствии с гипотезой Буссинеска напряжения в приведенных выше уравнениях рассчитываются (с учетом соглашения о суммировании по повторяющимся индексам) по формулам

/ди, dUf 2 duy\ 2 -

= (f + М +1 - Т -5) - Т Рб,;. (8.108)

Делая аналогичные допущения, для тепловых потоков получаем такие выражения:

Дальнейшие упрощения уравнения (8.108) связаны с предположением о несжимаемости жидкости для некоторых специфических приложений, что дает хц =(р. + \iT)dUi/dxf, Для замыкания системы уравнений следует использовать подходящую математическую модель турбулентности для \1т и Ргг. Граничные условия являются обычными для течения в каналах.

Кратко опишем наиболее распространенную стратегию решения. Заметим, что для заданного поля давления уравнения движения и энергии будут полностью параболическими и можно получить решение, используя маршевые процедуры решения уравнений движения по направлениям х, у и z для определения йу V п W соответственно. Решая уравнение энергии, находим Г, а из уравнения состояния - плотность. Компоненты скорости не будут удовлетворять уравнению неразрывности, кроме случая, когда распределение давления в плоскости поперечного сечения является точным. Это, конечно, затрудняет задачу - ведь уравнения движения, энергии и состояния образуют естественную систему, пользуясь которой получают решение для компонент скорости и плотности. Менее очевидно то, как можно воспользоваться уравнениями движения и неразрывности, чтобы найти правильное распределение давления. Были созданы работоспособные процедуры коррекции поля давления, которые будут обсуждаться ниже. Численный алгоритм решения уравнений сохранения, в котором одно уравнение решается отдельно от других, причем по очереди для каждой переменной, называется подходом с сегрегированием.

В принципе уравнения, образующие замкнутую систему, мож-но было бы решать одновременно каким-либо прямым методом

и затем посредством итераций делать поправку на то, что входящие в эту систему переменные связаны друг с другом нелинейным образом. Однако в настоящее время наиболее эффективно работающие программы решения прямым методом [Buneman, 1969; Schwartztrauber, Sweet, 1977; Bank, 1977] применимы только для специального класса уравнений и граничных условий, что сильно ограничивает их пригодность для настоящей задачи. Другие прямые методы не очень экономичны. С другой стороны, был достигнут значительный прогресс в итерационных методах решения систем алгебраических уравнений того типа, который возникает в данной задаче. Используя сильно неявные процедуры [Stone, 1968; Schneider, Zedan, 1981; Rubin, Khosla, 1981], можно разработать более эффективные алгоритмы одновременного расчета давления и скорости в трехмерных параболизованных уравнениях. Сильно неявные процедуры для этих уравнений в настоящее время находятся в начальной стадии разработки.

Большинство решений трехмерных параболизованных уравнений, о которых сообщено в литературе, было получено согласно методу с сегрегированием, предложенному Патанкаром и Сполдингом [Patankar, Spalding, 1972] и реализованному в процедуре SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations). Недавно было предложено несколько существенных улучшений на некоторых этапах этой процедуры, которые будут упомянуты ниже. Метод Патанкара и Сполдинга [Patankar, Spalding, 1972] в свою очередь опирается на более ранние работы [Harlow, Welch, 1965; Amsden, Harlow, 1970; Chorin, 1968]. Стратегия подхода с сегрегированием следующая: верхний индекс п + 1 относится к текущему сечению вдоль продольной координаты.

1. Линеаризуя коэффициенты уравнения (8.103) подходящим образом, давление р" можно определить так же, как и для двумерных и осесимметричных течений в каналах, которые рассчитываются при помощи уравнений пограничного слоя (см. § 7.5) с учетом требования сохранения полного массового расхода. Затем можно определить и] из конечно-разностного решения уравнения (8.103). Далее по уравнению энергии можно найти Tky а по уравнению состояния определить " p?,V. Не-

, явная схема переменных направлений очень хорошо зарекомендовала себя для решения уравнений движения и энергии.

2. Используя принятое распределение давления, можно определить предварительные значения v и w из решения уравнений (8.104) и (8.105) маршевым методом (рекомендуется опять вое-

пользоваться неявной схемой переменных направлений), так же как при решении уравнения движения по координате х,

3. Эти предварительные решения для v и w в плоскости поперечного сечения обычно не удовлетворяют уравнению неразрывности, записанному в разностном виде. Применяя уравнение неразрывности к предварительным решениям для компонент скорости, можно рассчитать дисбаланс массы в каждой точке сетки. Будем теперь искать способ подстроить поле давления в поперечном сечении так, чтобы устранить этот дисбаланс массы. Именно по тому, как вычисляются поправки скорости и давления, и отличаются трехмерные параболические методы друг от друга. Некоторые авторы [Briley, 1974; Ghia et al., 1977b; Ghia, Sokhey, 1977a] следовали гипотезе Чорина [Chorin, 1968] и считали подправленный поток безвихревым в плоскости поперечного сечения, причем был введен потенциал, связанный с давлением, так чтобы обратить в нуль дисбаланс массы. Для такого потенциала можно выписать уравнение Пуассона, исходя из уравнения неразрывности. Обозначим нижним индексом р предварительные значения скоростей, а нижним индексом с скорректированные (подправленные) их значения и потребуем, чтобы

+ -[р (о, + о,)] + -I- [р (W, + W,)] = 0. (8.109)

Здесь продольный градиент давления и производные от предварительных значений скоростей известны в момент времени, когда определяются поправки, и могут быть объединены в источниковый член S. Таким образом, мы можем определить потенциал как pVc = дф/ду, pwc = дф/dz и записать уравнение (8.109) в следующем виде:

. (8.110)

Тогда искомые поправки и скорости могут быть вычислены по распределению полученному из решения уравнения Пуассона в поперечной плоскости. В этом подходе завихренность исходных полей скорости Vp и Wp сохраняется.

В оригинальном подходе Патанкара и Сполдинга предполагалось, что поправки к скорости определяются поправками к давлению в соответствии с очень приближенными уравнениями движения, в которых продольные конвективные члены уравновешены членами с давлением. Символически это записывается