556 Гл. 8. Решение параболизованных уравнений Навье Стокса В виде

Здесь р можно читать просто некоторой потенциальной функцией (подобно ф), которая используется для образования поправок к скорости, удовлетворяющих уравнению неразрывности. В некоторых схемах (как и в оригинальной схеме Патанкара и Сполдинга [Patankar, Spalding, 1972]) р считается текущей поправкой, которая добавляется к предварительному значению давления. Так как в предыдущем сечении по продольной координате поправки к скорости можно считать нулевыми, то уравнения (8.111) и (8.112) можно интерпретировать как

= -В-. (8.114)

где А и В - коэффициенты, в выражения для которых входят Ру и и Ах. Производные от р\ конечно, дискретизируются. Следует бтметить сходство между уравнениями (8.113) - (8.114) и приведенными выше представлениями для поправок скоростей через потенциал ф. Теперь уравнения (8.113) и (8.114) можно подставить в уравнение неразрывности и получить уравнение Пуассона в виде

+ -S,: (8.П5)

Искомые поправки к скоростям теперь можно получить путем численного решения уравнения (8.115) с использованием уразнений (8.113) и (8.114). Этот подход известен как р-про-цедура для получения поправок к скорости. Были предложены усовершенствования этой процедуры, в которых пытались пользоваться более полной формой уравнения движения в связи с определением поправок к р\ Некоторые модификация р-под-хода описаны в работе [Raithby, Schneider, 1979].

4. На следующем шаге обновляется давление. Только что расснитанные поправки к скорости не требуются для удовлетворения полного уравнения движения. Теперь необходимо построить уточненное поле давления в поперечном сечении, которое при использовании полных уравнений движения будет порождать распределение скоростей, удовлетворяющее уравнению

неразрывности. Для этого применяется несколько способов. Скорректированные значения скоростей можно использовать в дискретизированных уравнениях движения для получения градиентов давления, согласованных с новыми значениями скоростей. Символически это запишется в виде

др/ду = F, (8.116)

dp/dzF. (8.117)

Одну из оценок «наилучшего» обновленного поля давления можно получить, решая уравнение Пуассона, выведенное из уравнений (8.116) и (8.117):

дР , др dFi , dF2 о 11Q\

Правая часть уравнения (8.118) вычисляется по дискретизиро-ванным уравнениям движения при помощи скорректированных скоростей и трактуется как некоторый источниковый член. Па-танкар [Patankar, 1980] предложил несколько отличную формулировку, которая также приводит к уравнению Пуассона для обновленного давления (алгоритм SIMPLER). Алгоритм SIMPLER есть SIMLE пересмотренный (revised). Решая любое из выписанных выше уравнений Пуассона, особое внимание следует обратить на численное представление граничных условий. Дискретизация и метод решения должны обеспечивать выполнение теоремы Гаусса (см. п. 3.3.7). Более подробный пример, представления граничных условий для уравнения Пуассона будет приведен в п. 8.4.3.

Рейсби и Шнейдер [Raithby, Schneider, 1979] предложили схему расчета обновленного давления, которая не требует решения второго уравнения Пуассона. Они назвали ее PUMPIN (Pressure Update from Multiple Path Integration). Ее идея состоит в том, что изменение давления от точки к точке можно рассчитывать интегрированием уравнений (8.116) и (8.117) при помощи скорректированных скоростей в уравнениях движения при вычислении Fi и F2. Для правильно скорректированных величин скорости V и W изменение давления между двумя любыми точками в плоскости поперечного сечения, вычисленное по этой процедуре, не зависит от пути интегрирования. Если значения скоростей v я w скорректированы не совсем точно (точность будет только тогда, когда достигнута сходимость), то результаты будут различаться для двух разных путей между двумя точками. Одну точку мы можем взять в качестве опорной и вычислять давление в других точках поперечного сечения осреднением величин, получаемых интегрированием по нескольким разным путям между опорной точкой и интересующей нас

ТОЧКОЙ. Рейсби и Шнейдер [Raithby, Schneider, 1979] сообщили, что удалось получить хорошие результаты, осредняя давления при интегрировании только по двум путям от опорной точки до рассматриваемой: (а) сначала вдоль у = const и затем вдоль Z = const; (b) сначала вдоль г = const и затем вдоль у = const.

Давление можно также обновлять совсем простым способом, принимая за добавляемую к давлению поправку величину р, получаемую из процедуры Патанкара и Сполдинга [Patankar, Spalding, 1972] (см. уравнение (8.115).

5. Так как не удается удовлетворить одновременно уравнениям движения и неразрывности, шаги (2) -(4) обычно повторяют с итерированием в каждом поперечном сечении, прежде чем перейти к следующему. Обычно применяется нижняя релаксация для поправок к скорости и давлению, т. е. при переходе от шага (3) к шагу (4) только некоторая определенная доля вычисленных поправок прибавляется к предварительным значениям V и W, Величина этой доли меняется от метода к методу. Аналогично перед переходом к шагу (2) подстраивают давление, добавляя только часть рассчитанной поправки. Иногда для организации такого итерационного процесса пользуются зависящими от времени уравнениями. Так как шаги (2) -(4) итерируются, то принято прекращать решение промежуточного уравнения Пуассона для поправок к скорости и давлению (особенно в последнем случае) на первых итерациях, не дожидаясь полной сходимости. Пока сходимость в целом получена не будет, мало пользы в стремлении получить наилучшее распределение давления, основанное на неправильном распределении скорости. Итерирование шагов (2) -(4) заканчивается, когда поле давления устанавливается, что приводит к решениям уравнений движения, удовлетворяющим уравнению неразрывности в пределах заданных отклонений, т. е. когда нет нужды более корректировать скорость.

6. После достижения сходимости шаги (1) -(5) повторяются в следующем сечении, расположенном ниже по потоку.

Рейсби и Шнейдер [Raithby, Schneider, 1979] сообщили о сравнительном исследовании описанных выше методов коррекции скорости и давления. Главным достоинством метода считается число итераций шагов (2) - (5), необходимое для достижения сходимости. Представляют интерес затраты процессорного времени для различных алгоритмов, но об этом ничего не сообщается. Зафиксировав метод обновления давления, они отмечают, что все методы получения поправок к скорости рабо-