использовать в нашем двумерном примере модели частично параболизованных уравнений Навье - Стокса.

Идея состоит в том, что для каждой компоненты скорости определяется своя сетка, как показано на рис. 8.5. Во избежание путаницы на рисунке обозначены только узлы сетки (жирной точкой), в которых берутся значения скалярных величин (давление и поправки к потенциалу скорости ф в нашем примере).

Ах"

Ах,.

Ах..

Ад:.

«4

Ах"

j -1

t t iiT

E) •

t t f t ( t

i - 1

i -b 1 t + Z i t- 3 1+4

Переменныг

Рсспопожеиие узлов сетки для вычисления соответствуюищх величии

Рис. 8.5. Расположение точек,-в которых вычисляются переменные, на сетке с расположением узлов в шахматном порядке.

Компоненты скорости вычисляются в точках, расположенных на гранях контрольного объема, который можно нарисовать вокруг точек, в которых берут величины давления. Точки, в которых вычисляются компоненты скорости, расположены на середине отрезка между соседними точками, в которых вычисляется давление. Для неравномерной сетки это означает, что точки, в которых вычисляют давление, не обязательно являются геометрическим центром такого контрольного объема. Точки, в которых вычисляются компоненты скорости, указаны на рис. 8.5 стрелками: вертикальные обозначают точки для и, горизонтальные - точки для и. Удобно обозначать переменные одним на-

бором индексов, несмотря на то что различные переменные вычисляются в разных точках. Таким образом, обозначение (i + + 1,У) относится к набору из трех несовпадающих точек, которые обведены кривой в форме бумеранга на рис. 8.5. На сетке с расположением узлов в шахматном порядке точка расположена ниже точки pf+i, /, а точка щ+и / - правее точки p/+i, /.

На сетке с расположением узлов в шахматном порядке поле скорости можно аппроксимировать со вторым порядком (при равномерной по пространственным координатам сетке) в узлах, обозначенных жирной точкой, используя компоненты скорости в смежных точках. Такая конфигурация придает разностной аппроксимации еще и свойство консервативности. К тому же разность давлений между двумя соседними точками становится естественной движущей силой для компонент скорости, расположенных между этими точками. Другими словами, простая аппроксимация производных давления разностями вперед является «центральной» по отношению к «точкам», в которых вычисляются компоненты скорости. Это дозволяет выписать уравнение Пуассона для давления, которое автоматически удовлетворяет теореме Гаусса о дивергенции, если специальным образом задавать граничите условия, что проще осуществляется на сетке с расположением узлов в шахматном порядке. Патанкар [Patankar, 1980] дал прекрасное и подробное обсуждение преимуществ применения расчетных сеток такого типа для задач, подобных рассмотренной выше.

Границы вычислительной области удобнее всего располагать вдоль линий сетки, в узлах которых вычисляются нормальные к границе компоненты скорости. Это показано на рис. 8.6 для нижней границы. Фиктивные точки расположены вне физических границ, что необходимо для реализации подходящих граничных условий. Пусть, например, мы хотим задать на нижней границе (рис. 8.6) условие прилипания. Компонента скорости v берется как раз на линии, совпадающей с физической границей, поэтому задаем просто Vi+\,}=0, Задание компоненты скорости и не столь очевидно, так как точки, в которых она вычисляется, не лежат на этой границе. Имеется несколько возможностей. Главное, чтобы касательная компонента скорости была равной нулю в местах расположения физической границы. Этого можно добиться, либо дискретизируя специальным образом уравнения сохранения для контрольного объема на границе, либо накладывая ограничение на решение вблизи границы так, чтобы его экстраполяция на границу удовлетворяла условию прилипания. Имеется еще и третья возможность, так чаще всего и поступают, - можно задавать скорость в фиктивных точках, лежащих ниже границы так, чтобы (a/+i, i + /+1,2)/2 == 0.

Вычислительная область

j = 2

j = l о-- о--о--

Финтивные точки

Рис. 8.6. Расчетная сетка с расположением узлов в шахматном порядке вблизи границы.

Существует некоторый выбор в представлении конвективных производных в уравнениях движения. В приводимой ниже схеме используются трехточечные аппроксимации. второго порядка с разностями против потока для конвективных членов вида идф/дх. Для членов вида vd<f>/dy будет использована гибридная схема (см. п. 7.3.3). Эти разностные выражения линеаризуются экстраполяцией коэффициентов по значениям в двух соседних сечениях, расположенных выше по потоку. Когда возникает обратное течение, направление «ветра» меняется на противоположное и это учитывается при аппроксимации производных в продольном направлении и при экстраполяции коэффициентов.

Ниже приняты следующие обозначения. Верхний индекс п -f 1 относится к текущей глобальной итерации (т. е. прохождению расчетной области в процессе численного интегрирования), нижний индекс /+ I обозначает текущее сечение по про-

Это отчасти напоминает граничное условие отражения для невязких течений, обсуждаемое в гл. 6. Значения скорости в фиктивных точках будут затем использоваться, как это требуется, в уравнениях движения во внутренней области. Значения потенциала, используемые для коррекции скорости, получают часто при помощи точек, лежащих вне физических границ. Нам нет необходимости вычислять в этих точках давление для границ, на которых скорость задается так, как это будет описано ниже. Подробности задания граничных условий на сетке с расположением узлов в шахматном порядке можно найти в работе [Amsden, Harlow, 1970].