568 Гл. 8. Решение параболизованных уравнений Навье - Стокса Соответствующее разностное уравнение имеет вид

л:„ \ Ах" Ajc /

A+ V y+ ts.y- )

Такое алгебраическое уравнение можно выписать для потенциала в каждой точке сетки поперек потока: / = 2, 3, ..., NJ, где / = 2 есть первая точка ф сетки сразу над нижней границей, а j = NJ есть точка ф сразу под верхней границей. Таким образом, мы имеем трехдиагональную систему уравнений для неизвестных функций /+1,/, если / и /+2,/ известны. Чтобы вычислить / и f/+2,/, делают следующие допущения:

(a) ij =ф1+\, /, означающее, что поправки к скорости равны нулю в сечении /, в котором сохранение массы уже обеспечено.

(b) /+2,/= О» означающее, что (Ус)/+2, / равно нулю, как должно быть, когда достигается сходимость. Любое другое допущение относительно /+2, / будет несовместимо с требованиями сходимости. Граничные условия, необходимые для решения трехдиагональной системы относительно /+1,/, выбираются так, чтобы они были совместимы с заданными граничными условиями для скорости. Например, если скорость задается на верхней и цижней границах, то vc будет равно нулю на этих границах. Тогда граничными условиями для /+1, / будут i =

После того как / найдены, определяем поправки к скорости при помощи разностных аппроксимаций выражений (8.129), а именно

Теперь скорректированные скорости удовлетворяют уравнению неразрывности в каждой точке сечения I, но не удовлетворяют точно уравнениям движения, пока не будет достигнута сходимость.

Между двумя глобальными итерациями поле давления обновляется путем решения уравнения Пуассона для давления

методом последовательной верхней релаксации по точкам. При этом уравнение Пуассона получают из уравнений движения; т. е. можно записать

др с ди . ди ди\

др f dv . dv dv \

При дискретизации приведенных выше уравнений величины G1, G2 вычисляются в центре отрезка между точками, которые используются для аппроксимации производных давления, стоящих в левой части. Следовательно, точки G1 совпадают с точками и, а G2 - с точками v. Тогда

др , др dG\ ,dG2

где G1 и G2 вычисляются с использованием скорректированных скоростей, удовлетворяющих уравнению неразрывности. Это порождает поле давления, которое вынуждает в конце концов решения уравнений движения сходиться при локальном сохранении массы. Источниковые члены Sp рассчитываются и хранятся в памяти ЭВМ во время всей глобальной итерации. Обычно делается одно уточнение поля давления методом последовательной верхней релаксации во время прохождения поля течения сверху вниз. Нетрудно обновить давление релаксацией по одной линии, прежде чем переходить к определению скорости в следующем сечении по i. Еще несколько уточнений методом последовательной верхней релаксации делают в конце глобальной итерации. К хорошим результатам приводит использование параметра верхней релаксации, равного 1.7. Однако источниковый член обычно уточняется методом нижней релаксации с параметром 0.2-0.65, а на первых глобальных итерациях даже с еще меньшим параметром.

Все граничные условия для уравнения Пуассона для давления являются граничными условиями Неймана, которые получаются из уравнений движения. В соответствии с теоремой Гаусса имеем

\\s,dxdy=\dC,

где С -граница области течения и (9p/5Az -задаваемое на ней граничное условие Неймана. Для сходимости процедуры решения уравнения Пуассона необходимо удовлетворить разностному эквиваленту этого равенства. На сетке с расположением узлов р шахматном порядке это деларт, связав давление в грант-

f Pi+2.2-Pi + u2 Pi+\\ 2 ~ PIV

"At/+ V At/+ At/" J

ou+u2-ou,2 04.-0\2 (8.133)

Здесь k - номер итерации в процедуре последовательной верхней релаксации решения уравнения Пуассона, k + 1 обозначает текущую итерацию. Граничное условие для уравнения Пуассона на нижней границе берут таким: {dp/dy)w = G2, т. е. производная давления на границе оценивается по уравнению движения. Дискретизируют его следующим образом:

Рш,2 +biG2,,,„ (8.134)

где величины давления на текущей итерации входят в неявном виде. Теперь можно исключить из уравнения Пуассона давление pf1 в фиктивной точке под нижней границей, подставляя уравнение (8.134) в (8.133). Это дает

Pi+2. 2 - Pi+\.2 Pi + \,2-pl2 I w Pi + \ PiV\,2 \

G,,,,,-G.,, G2 (8.135)

Ал:„

Ax„ y\

Рассмотрение дискретизации Sp подтверждает, что требование, вытекающее из теоремы Гаусса, в случае нашей процедуры

удовлетворяется. При вычислении Spdxdy остаются только

члены со значениями GI и G2 на границах, остальные G уничто-

ныхр-точках с давлением внутри области через заданные на границе производные уравнением, в которое неявным образом входит номер итерации метода последовательной верхней релаксации по точкам. Такой прием полностью устраняет зависимость от заданного на границе давления [Miyakoda, 1962] при решении уравнения Пуассона для давления. Когда дискретизация Sp обладает свойством консервативности, итерационный процесс будет сходиться. Дискретизация уравнения (8.132) в р-точке, смежной с нижней границей и лежащей внутри области, иллюстрирует такое задание граничных условий: