согласование по уравнению неразрывности до 1 7о от массового расхода в любом сечении канала, и 43 глобальных итерации, чтобы уменьшить эту цифру до 0.05 %.

§ 8.5. Уравнения вязкого ударного слоя

Уравнения вязкого ударного слоя являются еще более приближенными, чем параболизованные уравнения Навье -Стокса. По сложности они занимают промежуточное положение между параболизованными уравнениями Навье -Стокса и уравнениями пограничного слоя. Главное достоинство уравнений вязкого ударного слоя в том, что они остаются гиперболически-параболическими в продольном и поперечном направлениях. Поэтому уравнения вязкого ударного слоя можно решать маршевым методом по обоим направлениям аналогично тому, как это делают в случае трехмерных уравнений пограничного слоя. Совсем наоборот обстоит дело в случае параболизованных уравнений Навье - Стокса, которые необходимо решать сразу во всей плоскости поперечного сечения. Следовательно, уравнения вязкого ударного слоя могут быть решены (в большинстве случаев) с меньшими затратами машинного времени, нежели параболизованные уравнения Навье -Стокса.

Еще одно достоинство уравнений вязкого ударного слоя состоит в том, что их можно использовать для расчета дозвукового течения вязкой жидкости вблизи затупленной носовой части, где параболизованные уравнения Навье -Стокса неприменимы. Следовательно, для тел с затупленной носовой частью можно использовать уравнения вязкого ударного слоя, чтобы получить начальное приближение, необходимое для дальнейших расчетов по модели параболизованных уравнений Навье - Стокса. Основным недостатком уравнений вязкого ударного слоя является то, что их нельзя применять для расчетов течений с отрывом в поперечном направлении. Это связано с тем, что они не являются эллиптическими в поперечной плоскости.

Идея применения уравнений типа вязкого ударного слоя для расчета обтекания затупленных тел при больших числах Маха впервые была высказана в работах [Cheng, 1963; Davis, Flugge-Lotz, 1964]. Как уже отмечалось, решение уравнений типа уравнений вязкого ударного слоя исключает необходимость явного определения погранслойных эффектов второго порядка -завихренности и толщины вытеснения. Более того, здесь отсутствуют трудности сращивания вязкого и невязкого решений, когда происходит слияние пограничного слоя с внешним невязким течением.

В работах, где применяли уравнения вязкого ударного слоя, самым успешным был метод Дэвиса [Davis, 1970]. Он решал осесимметричные уравнения вязкого ударного слоя, чтобы рассчитать гиперзвуковое ламинарное обтекание гиперболоида. Дэвис вывел уравнения вязкого ударного слоя следующим образом. Сначала приводятся к безразмерному виду уравнения Навье -Стокса с переменными порядка единицы в пограничном слое при больших числах Рейнольдса. Аналогично получается другая система уравнений путем приведения к безразмерному виду уравнений Навье - Стокса с переменными порядка единицы в невязкой части поля течения. В обеих системах сохраняются члены вплоть до второго порядка по параметру е:

*ref

11/2

оо" оо nose

(8.136)

где коэффициент вязкости jiref рассчитывается по характерной температуре:

(8.137)

Затем эти две системы уравнений сравниваются и объединяются в одну, уравнения которой пригодны в области между телом и ударной волной с точностью до членов второго порядка малости. В двумерном (т = 0) и осесимметричном (т = 1) случаях в системе координат, связанной с телом (см. рис. 5.3), безразмерные уравнения вязкого ударного слоя записываются в следующем виде:

Уравнение неразрывности

- [(/•• + п cos ФГ р«*] + [(I + (г + V cos ФГ = 0.

Уравнение движения по координате

(8.138)

и* ди* I ,ди* К*и*у* 1 + Кг\* dV "т" " дп 1 + Кп*

1+Кп* дГ

(H-/CV)4- + Tl*cos«)» dfi

v[(l+W(r* + Vcos)"T-],

(8.139)

. г иг dv . . av д1и г 1 «Эр* /ч /о , лг,

Уравнение движения по координате ц

dv" , .. dv* К* (иУ 1

(l+A:V)(-* + il*cosr дтС

(1 +/(V) (г* + Л* COS Г\

(8.141)

Эти уравнения были обезразмерены следующим образом: S -7-, Ц ---, г =--, К ==--,

nose nose

* = Т-> 7* = -ГТ> (8.142)

В предположении тонкого ударного слоя нормальное уравнение движения сводится к уравнению движения по координате х\ в приближении тонкого ударного слоя

W- 1 + /CV • -

Приведенные выше уравнения легко можно переписать для декартовой системы координат в двух измерениях, полагая

т = 0, Г = 0, jc- = r, У* = Л*. (8.144)

Записанные в декартовой системе координат уравнения вязкого ударного слоя можно сравнить с параболизованными уравнениями Навье -Стокса [уравнения (8.29) -(8.33)]. Оказывается, что уравнения неразрывности и движения по координате X в этом случае совпадают, а уравнения движения по координате у и уравнение энергии вязкого ударного слоя проще соответствующих параболизованных уравнений Навье - Стокса.

В методе решения, который впервые предложил Дэвис, переменные в уравнениях вязкого ударного слоя относят к параметрам потока за ударной волной. Это позволяет использовать одну и ту же сетку в направлении, нормальном к поверхности тела, для всего поля течения вокруг тела. Используя приближение тонкого слоя, рассчитывают начальное приближение. В этом приближении уравнения вязкого ударного слоя являются полностью параболическими, что позволяет применять стандартные алгоритмы решения уравнений пограничного слоя. В последующих глобальных итерациях используется уже полное уравнение движения по нормальному направлению. К тому же ца первой глобальной итерации считают, что ударная волна

Уравнение энергии р« ( ill + oill ff! Ё£. y-iEl еМт-р ,