BfU-:} + Du-- + = С,, (7.25)

2y (Аг/)2 > / ~" Ах (Аг/)2

/ - W ~ 1а> / - ""aF" +

Исходя из предсказываемого видом уравнения (7.25) поведения величины и} при изменении uf+l и u+l, можно предположить, что характерное для вязкой жидкости поведение решения будет наблюдаться в тех случаях, когда оба коэффициента Af и Bj отрицательны. Для вязкой жидкости характерно.

новение неустойчивости. Можно выделить две причины, приводящие к указанному затруднению при проведении расчетов. Во-первых, при решении уравнений с трехдиагональной матрицей методом исключения погрешность вычислений может сильно возрастать, если в матрице коэффициентов нет диагонального преобладания, т. е. при использовании введенных при описании прогонки обозначений, если \Dj\ не превосходит 5/ + Л/. Это свойство метода исключения известно давно, но оно лишь недавно было привлечено к анализу неявных разностных схем Хёршем и Руди [Hirsh, Rudy, 1974]. До этого аналогичные затруднения в проведении расчетов возникли у Патанкара и Сполдинга (Patankar, Spalding, 1970], которые для преодоления этих затруднений предложили средство, названное ими «коррекцией большого дополнительного расхода».

Второй не менее важной причиной возникновения указанных выше затруднений является неправильное описание физических процессов, связанное с тем, что при выбранных шагах разностной сетки конечно-разностный аналог неправильно описывает вязкое течение. Аналогичные проблемы, возникающие при решении уравнения Бюргерса, рассмотрены в гл. 4. Можно показать, что, удовлетворяя необходимым условиям правильного описания физических процессов разностными уравнениями, мы одновременно удовлетворяем достаточным условиям диагонального преобладания.

Для иллюстрации причины возникновения указанных затруднений рассмотрим разностную схему, получающуюся при решении уравнения движения пограничного слоя газа с постоянными теплофизическими свойствами полностью неявным методом. Если воспользоваться методом запаздывающих коэффициентов, то конечно-разностную схему можно записать в виде

2y (yY или

v\Ay/v2. (7.26)

Соотношение (7.26) подтверждает наше предположение о том, что «корректным» является конечно-разностный аналог, обеспечивающий характерное для вязкого случая поведение решения. Неравенству (7.26) можно удовлетворить, выбрав достаточно мелкую сетку, что всегда можно сделать при использовании сходящихся разностных схем. Величина vf Ay/v является просто сеточным числом Рейнольдса. Иногда ее называют более общим термином - сеточное число Пекле.

Удовлетворяя неравенству (7.26), мы одновременно удовлетворяем достаточному (но не необходимому) условию диагонального преобладания получающейся системы уравнений. По-видимому, при проведении расчетов наиболее важным является обеспечение отрицательности коэффициентов Aj и В/, что позволяет правильно описывать вязкие эффекты. То, что в этом случае при решении системы алгебраических уравнений не наблю!-дается рост ошибки, является случайным совпадением. Для рассматриваемой разностной схемы мы должны будем признать непригодным даже свободное от численных ошибок решение (если мы сможем его получить) при t;]f Ду/v > 2, исходя из физических соображений. С другой стороны, в некоторых случаях рост ошибки при решении уравнений методом исключения может затруднить проведение расчетов.

Для некоторых течений выполнение условия (7.26) требует использования сеток с очень большим числом узлов, что стимулировало некоторых исследователей рассмотреть возможные способы изменения разностной схемы, позволяющие исключить влияние сеточного числа Рейнольдса. Большинство посвященных этому вопросу исследований относится к более сложному случаю уравнений Навье - Стокса, когда вопросы экономичности численных методов оказываются более острыми. Проще всего избавиться от ограничений на сеточное число Рейнольдса, заменив при аппроксимации члена vdu/dy центральные раз-

ЧТО При уменьшении скорости сверху (ul) или снизу (uf:l) от точки (/г+ 1, /) скорость uf- в точке (m+ 1, /) также уменьшается за счет вязких эффектов. Из (7.25) очевидно, что если хотя бы один из коэффициентов Л/ или 5/ положителен, то это свойство решения не выполняется. Условие отрицательности коэффициентов Л/ и В/ имеет вид

при и/ < 0.

Возникающая при использовании схемы с разностями против потока погрешность аппроксимации приводит к появлению схемной вязкости, которая усиливает вязкий характер решения и в некоторых случаях уменьшает точность получаемых результатов.

Вопрос о выборе наиболее подходящей аппроксимации производных при больших сеточных числах Рейнольдса все еще горячо обсуждается в современной научно-технической литературе, так как он до сих пор не нашел удовлетворительного решения. Можно, конечно, использовать схемы с разностями против потока, имеющие более приемлемую погрешность аппроксимации (используя два или больше расположенных выше по потоку узла), но тогда может получиться система уравнений с отличной от трехдиагональной матрицей коэффициентов, а это явный недостаток разностной схемы. Большинство примеров расчетов, показывающих нежелательные эффекты, связанные с использованием разностей против потока, относится к уравнениям Навье - Стокса. Для уравнений пограничного слоя таких результатов намного меньше. На основе имеющегося опыта можно предположить, что использование для аппроксимации члена vdu/dy разностей против потока (в тех случаях, когда это связано с сеточным числом Рейнольдса) является достаточным для выполнения условия (7.26). Использовать для аппроксимации этого члена центральные разности мы, естественно, рекомендуем всегда, когда это только возможно.

Обычно при программировании на ЭВМ для перехода с одной разностной схемы на другую используют логические операторы. Когда сеточное число Рейнольдса превышает два, мы советуем не переходить сразу от центральных разностей к разностям против потока, а воспользоваться комбинацией односторонней (против потока) и центральной разностных аппроксимаций производных (т. е. воспользоваться «гибридной» разностной схемой). Впервые такой подход был предложен Алленом и Саусвеллом [Allen, Southwell, 1955]. Впоследствии, по-видимому не без влияния этой первой работы, аналогичные или даже идентичные конечно-разностные аналоги производных были предложены в работах [Spalding, 1972; Raithby, Torrance, 1974]. Для иллюстрации основных принципов построения такой

ности на односторонние разности против потока: