$ 8.5. Уравнения вЯзкОго ударного слоя 577

является концентрической. Такое допущение возможно, так как рассматривались только тела в форме гиперболоида из-за трудностей, обусловленных разрывом кривизны в случае конфигураций типа сфера-конус. На второй итерации угол наклона ударной волны рассчитывался по толщине ударного слоя, вычисленной на первой итерации.

Решение маршевым методом начинали, исходя из приближенно найденного решения на линии тока вблизи критической точки. Это решение получалось из уравнений вязкого ударного слоя, которые в этом случае сводились к обыкновенным дифференциальным уравнениям вдоль g = 0. Решение в каждом пр-следующем сечении по g получалось путем решения каждого из уравнений вязкого ударного слоя отдельно в такой последовательности:

1) уравнение энергии;

2) уравнение движения по координате ;

3) уравнение неразрывности;

4) уравнение движения по координате т].

Метод Дэвиса оказался неудовлетворительным по нескольким причинам. Прежде всего его применение ограничено телами с аналитически заданной формой. (например, гиперболоид). Эту трудность первыми разрешили Майнер и Льюис [Miner, Lewis, 1975], которым удалось рассчитать обтекание конфигурации сфера-конус. Они в качестве начального приближения взяли форму ударной волны такой, какой она получается из решения задачи об обтекании затупленного тела невязким газом, а вблизи сочленения сфера-конус воспользовались переходной функцией, чтобы получить гладкое распределение кривизны. Позднее Сривастава и др. [Srivastava et al., 1978] преодолели это ограничение за счет дискретизации специального вида, аппроксимирующей резкое изменение параметров, когда функция, задающая поверхность, терпит разрыв.

Другой недостаток оригинального метода Дэвиса - плохая сходимость формы ударной волны, когда последняя утолщается. Эту трудность преодолели Сривастава и др. [Srivastava et al., 1978, 1979], которые заметили, что релаксационный процесс, связанный с формой ударной волны, аналогичен взаимодействию толщины вытеснения и внешнего невязкого течения в теории сверхзвукового взаимодействующего пограничного слоя. В результате проблему сходимости формы ударной волны удалось разрешить при помощи неявного метода переменных направлений [Werle, Vatsa, 1974] для взаимодействующих пограничных слоев.

Еще один недостаток метода Дэвиса состоит в том, 4to с его помощью нельзя получить решение в области дальнего слеДа

за тонкими телами. Это является следствием того, что уравнения вязкого ударного слоя решаются раздельно. В частности, два уравнения с первым порядком аппроксимации (неразрывности и движения в нормальном направлении) вводили неустойчивости, которые росли в продольном направлении. Решая уравнения неразрывности и движения в нормальном направлении совместно, Васкевицу и др. [Waskiewicz et al., 1978] удалось справиться с проблемой неустойчивости. Этого же добились Хосни и др. [Hosny et al., 1978], решая все квазилинеаризован-ные уравнения вязкого ударного слоя одновременно.

Когда все названные выше трудности удалось преодолеть, стало возможно применение уравнений вязкого ударного слоя к более сложным задачам. Мёррей и Льюис [Murray, Lewis, 1978] использовали их для расчета обтекания трехмерных тел общей формы под углом атаки. Их алгоритм с успехом применялся и во многих других задачах. Не так давно в работах, выполненных под руководством Льюиса, были учтены эффекты турбулентности [Szema, Lewis, 1980] и свойства реальных газов [Thareja et al., 1982; Swaminathan et al., 1983].

§ 8.6. Конические уравнения Навье -Стокса

При рассмотрении конического приближения течений невязкой жидкости пользуются тем обстоятельством, что в поле течения, окруженного коническими границами, отсутствует. масштаб длины в коническом направлении. В результате не происходит изменений параметров течения в радиальном напрдвле-нии и трехмерная задача течения невязкой жидкости сводится к двумерной. Это приводит к автомодельному решению, которое одно и то же для всех постоянных значений радиуса и масштабируется линейно при изменении радиуса. Приближение конического течения строго справедливо только для течений невязкой жидкости. Однако даже в таком поле течения эксперимент обнаруживает вязкие области, над которыми доминирует коническое невязкое течение.

В этих случаях Андерсон [Anderson, 1982] предложил быстрое вычисление теплопередачи и трения при помощи решения нестационарных уравнений Навье -Стокса методом установления на единичной сфере с производными в радиальном направлении, равными нулю. Таким образом, уравнения Навье -Стокса решаются в локальном коническом приближении. Мы будем называть уравнения, которые решаются подобным образом, коническими уравнениями Навье -Стокса. Местное число Рейнольдса определяется по радиусу, на котором производятся вычисления. В результате решение не является автомодельным в

смысле конического течения невязкой жидкости, а масштабируется по местному числу Рейнольдса, которое входит в результирующую систему уравнений.

Сначала конические уравнения Навье -Стокса использовались [McRae, 1976] для расчета обтекания конуса ламинарным потоком под большим углом атаки. Позже они применялись для расчета ламинарного обтекания дельтовидного крыла [Vigneron et al., 1978; Bluford, 1978] и трехмерного течения в двугранном угле [Tannehill, Anderson, 1980]. Модель вихревой вязкости и конические уравнения Навье - Стокса использовались в работе [McRae, Hussaini, 1978] для расчета турбулентного обтекания конуса под большим углом атаки. Во всех названных случаях (кроме одного, когда невязкое течение не было полностью коническим) рассчитанные вязкая и невязкая структуры удивительно хорошо совпадали с имеющимися экспериментальными данными.

Конические уравнения Навье -Стокса оказались полезными еще и потому, что дают вполне хорошие начальные приближения для расчетов по модели параболизованных уравнений Навье- Стокса обтекания конических (или заостренных) тел. Шифф и Стегер [Schiff, Steger, 1979] включили маршевый с шагами назад метод в свой алгоритм решения параболизованных уравнений Навье - Стокса, что эквивалентно решению конических уравнений Навье -Стокса в соответствии с описанным выше методом установления. При этом параметры потока сначала принимаются равными их значениям в свободном потоке и уравнения решаются маршем от х = Хо до л: = л:о + Ах при помощи той же явной схемы, которая применялась при решении параболизованных уравнений Навье - Стокса, но с др/дх = 0. После каждого шага по маршевой координате решение масштабируется по уже имеющимся параметрам потока в точке х = Хо. Вычисления повторяются до тех пор, пока параметры потока не перестанут изменяться.

Конические уравнения Навье -Стокса получают из полных уравнений Навье -Стокса

dV* , дЕ* , д¥* , dG*

+ + = (8.145)

где и*, Е*, F* и G* -безразмерные векторы, определяемые выражениями (5.46). К этим уравнениям применяется сначала коническое преобразование вида

а = [(хУ + {уУ + {2)Г