Полученные преобразованные уравнения можно записать в строго дивергентной форме

(f"-)+i[#<E- + P- + vG-)] +

где Я = (1 + р2 +Y)/ Допущение местной конической авто-модельности требует, чтобы

= 0,

= 0,

= 0.

да аа да

Тогда уравнение (8.147) приводится к виду

(8.148)

[(-PE* + F-)U

(-U-) + f-(E- + pr + YG*) + Llt-

+ (~yE*+G-)] = 0. (8.149)

Решение рассчитывается на сферической поверхности радиуса r* = r/L, равного единице. На этой поверхности а= 1, так как

Следовательно, уравнение (8.149) можно переписать в виде

дх ар и*

4=-р-

-уЕ + G* „ 2 (Е* + PF* + уО*)

"4=-12-. "4 =-Р-•

(8.151)

Частные производные в вязких членах Е*, F* и G* легко преобразуются при помощи соотношений

ду* ~idfi д , д

(8.152)

Поэтому выражения для сдвиговых напряжений и тепловых потоков, заданные уравнениями (5.47), принимают следующий

вид:

ly=таг (1 + + Y4 - Ч).

(2Яш; + ря«; + уя«;-я.;),

= (К - Р; - yK)- (8.153)

7:=...... ЯП,

я1=, - яг;.

Отметим, что в выражениях для сдвиговых напряжений и тепловых потоков фигурирует число Рейнольдса Rd. Оно рассчитывается по формуле

ReL = PooVoo/too, (8.154)

где L -радиус сферической поверхности, на которой вычисляется решение. Следовательно, решения конических уравнений Навье -Стокса прямо зависят от величины радиуса r = L, на котором они вычисляются. Это и отличает их от невязких решений, которые не зависят от г и поэтому являются действительно коническими.

Конические уравнения Навье -Стокса можно решать, используя зависящие от времени алгоритмы, которые будут рассматриваться в гл. 9 в связи с решением двумерных уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости. Поэтому отложим обсуждение разностных схем для решения конических уравнений Навье - Стокса. В заключение следует напомнить, что конические уравнения Навье -Стокса являются весьма приближенной формой полных уравнений Навье - Стокса, поэтому ими нельзя пользоваться в тех случаях, когда требуется высокая степень точности.

Задачи

8.1. Проверьте уравнение (8.8).

8.2. Выведите уравнения (8.9) - (8.11).

8.3. Сведите записанные в декартовой системе координат уравнения в приближении тонкого слоя к системе уравнений на границе, па которой нет проскальзывания {у = 0). Предположите, что стенка поддерживается при постоянной температуре Tw

8.4. Сведите записанные в криволинейной системе координат уравнения в приближении тонкого слоя (уравнения (8.9) -(8.11)) к системе уравнений на границе, на которой нет проскальзывания (т) = 0). Предположите, что стенка поддерживается при постоянной температуре Tw.

8.5. Получите уравнение (8.15) из (5.19).

8.6. Получите уравнение (8.16) из (5.19).

8.7. Получите уравнение (8.17) из (5.31).

8.8. Получите уравнение (8.23) из (8.17).

8.9. Выведите уравнения ламинарного сжимаемого пограничного слоя из уравнений (8.14)-(8.17). Заметим, что - 0(1) и (Д/б*)2 > 1.

8.10. Используйте приближение тонкого слоя для уравнений (8.37) - (8.39) и покажите, что они эквивалентны уравнениям (8.40), (8.10) и (8.11).

. 8.11. Проверьте, что уравнение (8.44) эквивалентно уравнению (8.43).

8.12. Покажите, что собственные значения уравнения (8.44) задаются уравнением {SAb), Подсказка: HiJ-ill = IHiJ-M -

8.13. Выведите уравнение (8.47).

8.14. Проверьте уравнения (8.48)-(8.49).

8.15. Выведите уравнение (8.50).

8.16. Для параметров потока М; = 0.6, Re/L = ри/ц = 1000/т, у= 1.4, Рг = 0.72 решите уравнение (8.50) и покажите, что его корни будут вещественными, если (d = 0.4, что удовлетворяет уравнению (8.52).

8.17. Решите задачу 8.16 с со = 0.5 и покажите, что по крайней мере один корень уравнения (8.50) не будет вещественным и положительным.

8.18. Если все собственные значения уравнения (8.50) вещественные, то покажите, что они положительные, если удовлетворены условия, заданные уравнениями (8.51) и (8.52).

8.19. Поместите множитель ю перед членом в уравнениях энергии и движения в продольном направлении и оцените условия, при которых уравнение (8.44) остается гиперболическим, если ю < 1. Считайте, что t; < и.

8.20. Линеаризуйте следующие члены, используя уравнение (8.61).