дх дх ду

и постройте алгоритм, аналогичный заданному уравнениями (8.94) -(8.97) для трехмерного параболизованного уравнения Навье-Стокса.

8.34. Разработайте детали алгоритма коррекции скорости для трехмерной параболизованной процедуры в случае течения сжимаемой жидкости в канале прямоугольного сечения. Используйте метод потенциала Ф и р-метод. Воспользуйтесь сеткой с расположением узлов в шахматном порядке.

8.35. Дискретизируйте уравнение движения по координате у для модели частично параболизованных уравнений Навье-Стокса, следуя процедуре, описанной в п. 8.4.3 для уравнения движения по координате х,

8.36. Покажите, что описанная для уравнения Пуассона для давления в модели частично параболизованных уравнений Навье-Стокса формули-

(d) «гЛ/.*"Г+\!/.б<+1!/.*;

8.21. Выведите выражение для матрицы Якоби дЕ*/д1}у заданное уравнением (8.78).

8.22. Выведите уравнение для матрицы Якоби dF/dVy заданное выражением (8.79).

8.23. Выведите выражение для матрицы Якоби dG/dVy заданное уравнением (8.80).

8.24. Если приближенно положить, что ю »выведите выражение для матрицы Якоби dE*ldV, уже не считая со не зависящим от U.

8.25. Выведите выражение для матрицы Якоби dFv/dVy заданное уравнением (8.84).

8.26. Выведите выражение для матрицы Якоби dGvldVy заданное уравнением (8.85).

8.27. Элементы матрицы [C]k в уравнении (8.98) можно представить в виде {cini)ky где / = 1, 2, ..., 5 и m = 1, 2, ..., 5. Определите элемент

8.28. Определите элемент (сзг)* в задаче 8.27.

8.29. Определите элемент (С4з)л в задаче 8.27.

8.30. Элементы матрицы [B]k в уравнении (8.98) можно представить в виде (bim)ky где / = 1, 2, ..., 5 и m = 1, 2, ..., 5. Определите элемент

8.31. Определите элемент (643) * в задаче 8.30.

8.32. Определите элементы (азз)л, (зз)л и (сзз)л матриц [A]ky [B]k и lC]k в уравнении (8.98).

8.33. Воспользуйтесь разностной формулой (8.70) для двумерного пара-болизованного уравнения Навье -Стокса

Е* , , д¥

584 Гл. 8. Решение параболизованных уравнений Навье -Стокса ровка задачи удовлетворяет следующему условию:

8.37. Предложите способ распространения модели частично параболизованных уравнений Навье-Стокса на трехмерные течения.

8.38. Объясните, как формулировать граничные условия на границе, которая является линией симметрии (например, ось двумерного канала), в случае применения сетки с расположением узлов в шахматном порядке. Объясните в терминах алгоритма прогонки.

8.39. Примените к уравнению (8.145) преобразование переменных а=л:*, Р = У*1х*, у = z*/x*, X == t* и выведите конические уравнения Навье- Стокса, которые используйте далее к расчету решения в сечении х = L, где а = jc* = 1.

Глава 9

Численные методы решения уравнений Навье - Стокса

§ 9.1. Введение

Для некоторых задач расчета течения вязкой жидкости нельзя получить точное решение при помощи упрощенных уравнений, обсуждавшихся в гл. 6-8. К примерам таких задач относятся взаимодействие ударной волны с пограничным слоем, обтекание входной кромки, некоторые волновые течения в следе и другие течения с сильным вязко-невязким взаимодействием и большими отрывными зонами. В этих случаях необходимо решать полные уравнения Навье-Стокса (или осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса). К сожалению, эти уравнения очень сложны, и их решение требует больших затрат машинного времени. Если, однако, жидкость несжимаема, то уравнения существенно упрощаются и соответственно уменьшается время, необходимое для их решения.

Нестационарные уравнения Навье-Стокса для сжимаемой жидкости образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений, а для несжимаемой жидкости - эллиптически-параболических уравнений. Поэтому приходится использовать разные численные методы решения уравнений Навье-Стокса в этих двух случаях, что и будет предметом обсуждения в настоящей главе.

§ 9.2. Уравнения Навье - Стокса для сжимаемой жидкости

Для сжимаемой жидкости уравнения Навье-Стокса в отсутствие массовых сил и подвода тепла извне можно записать (см. п. 5.1.5) в виде

ГТ л¥? ЛП.

(9.1)

dV dE.dF.dGf. dt dx dy dz

где векторы U, Е, F и G задаются следующими выражениями:

pv pw

(9.2)