puv - Ху puw - Т2

iEt + p)u - их - vxy - wxg + <7, pv

puv - Ху

PV + P- Хуу

pvw - Хуг

{Et + p)v- их,у

pw puw - х,

pvw - Tyz

(Et + p)w - ЫТг - VXy - ШТгг + «/г

(9.3)

vxyy - wxy + qy

(9.4)

(9.5)

a компоненты тензора сдвиговых напряжений и вектора теплового потока имеют вид

"у у

2 3

дТ дх

(9.6)

дТ dz

Эти уравнения можно записать в криволинейной ортогональной системе координат лгь лгг, л:з, используя формулы из п. 5.1.7. Уравнения Навье -Стокса для сжимаемой жидкости можно также записать и в криволинейной неортогональной системе

координат g, Г), 5, выполняя преобразование координат (см. п. 5.6.2)

1 = 1{х, у, г),

Л = Л(, У, г\ (9.7)

Z = Z{x. У, г).

Вид преобразованных уравнений (8.34) -(8.36) приведен в гл. 8.

В § 8.2 обсуждалось приближение тонкого слоя уравнений Навье -Стокса для сжимаемой жидкости. В его рамках в полных уравнениях Навье-Стокса можно опустить ряд членов. Однако при этом сохраняется математическая природа исходных уравнений, поэтому как те, так и другие уравнения решаются сходным образом. В гл. 8 приведены уравнения Навье-Стокса в приближении тонкого слоя, записанные в декартовой системе координат (уравнения (8.2) -(8.6)) и в криволинейной неортогональной системе координат (уравнения (8.9) - (8.12)).

Для турбулентных течений пользуются осредненными по Рейнольдсу уравнениями Навье-Стокса. Используя гипотезу Буссинеска (см. п. 5.4.2), уравнения Навье-Стокса можно заменить на модельные осредненные по Рейнольдсу уравнения подстановкой [х + [1т вместо коэффициента вязкости р и подстановкой k + kr вместо коэффициента теплопроводности ky где рг - вихревая вязкость и кт - коэффициент турбулентной теплопроводности. Коэффициент турбулентной теплопроводности кт можно выразить через вихревую вязкость рг и турбулентное число Прандтля Ртт следующим образом:

*T = WPr- (9-8)

Методы расчета \хт подробно были описаны в § 5.4.

Как уже говорилось, нестационарные уравнения Навье-Стокса для сжимаемой жидкости образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений относительно времени. Если в этих уравнениях опустить нестационарные члены, то полученная смешанная система будет гиперболически-эллиптического типа, решать которую трудно из-за несходства методов численного решения уравнений гиперболического и эллиптического типов. Поэтому едва ли не все успешные случаи решения уравнений Навье-Стокса для сжимаемой жидкости связаны с нестационарной формой этих уравнений. Стационарное решение получают установлением по времени. Этот подход связан с решением зависящих от времени уравнений и будет обсуждаться в данной главе.

Для решения зависящих от времени уравнений Навье-Стокса для сжимаемой жидкости использовались как явные, 19*

- (F". * - /. *) - (G" /. - о" /. *)• (9.9)

Корректор

- (Pt?. - П-и - (СП?". - оЙ.-О]. (9.10)

где x = iAx, y = jAy и z = kAz. Эта явная схема имеет второй порядок как по пространству, так и по времени. В этом варианте схемы на шаге предиктор для аппроксимации.всех пространственных производных используются разности вперед, а на шаге корректор - разности назад. Разности вперед и назад можно последовательно чередовать как на шагах предиктор - корректор, так и при аппроксимации производных по трем пространственным координатам. Это устраняет любое рассогласова-

так И неявные схемы. Почти все эти схемы имеют второй порядок точности по пространству и либо первый, либо второй по времени. Если требуется получить точную картину развития течения во времени, то порядок схемы по времени должен быть по крайней мере вторым. Если же нас интересует только установившееся решение, то часто выгодно пользоваться не только точными по времени схемами, так как установление можно получить за меньшее число шагов по времени. Ввиду большой дополнительной сложности имеется мало сообщений о применении схем третьего порядка (и выше) в расчетах уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости. Многие понимают, что выбор схем второго порядка является оптимальным, поскольку большая точность требует существенно больших затрат машинного времени. Имеется превосходная обзорная статья [Peyret, Viviand, 1975] по расчетам уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости, выполненным до 1976 г. Теперь перейдем к подробному обсуждению методов решения уравнений Навье -Стокса для сжимаемой жидкости.

9.2.1. Явный метод Мак-Кормака

Применение схемы Мак-Кормака [MacCormack, 1969] к уравнениям Навье -Стокса для сжимаемой жидкости (9.1) приводит к следующему алгоритму:

Предиктор