ние, обусловленное дискретизацией односторонними разностями. Пример подобного чередования приведен в табл. 9.1.

Таблица 9.1. Последовательность аппроксимации для схемы Мак-Кормака >

) в - разность вперед; Н - разность назад.

Производные в вязких членах Е, F и G следует правильно дискретизировать, чтобы сохранить второй порядок точности. Делают это следующим образом. Имеющиеся в Е производные по координате х аппроксимируются разностями противоположного направления относительно тех, которые используются при аппроксимации дЕ/дх, тогда как производные по направлениям у и Z аппроксимируются центральными разностями. Аналогично производные по координате у в F и производные по координате г в G аппроксимируются разностями противоположного направления относительно тех, которые используются при аппроксимации дГ/ду и dO/dz соответственно. Смешанные производные в F и G аппроксимируются центральными разностями. Рассмотрим, например, компоненту вектора F, которая соответствует уравнению движения по координате х:

ди dv

p2 = PUVll-li-.

(9.11)

На шаге предиктор, задаваемом уравнением (9.9), она дискретизируется в виде

P"+l./.fe-"-l./.fe

(9.12)

Из-за большой сложности уравнений Навье -Стокса для сжимаемой жидкости невозможно получить аналитическое выражение критерия устойчивости для схемы Мак-Кормака, когда она применяется к этим уравнениям. Можно, однако, воспользоваться эмпирической формулой [Tannehill et al., 1975]

<. -

где а -коэффициент запаса (я:0.9), (ДОкфл определяется по критерию Куранта - Фридрихса - Леви для невязкой жидкости [MacCormack, 1971]

/аа i 1»1 i N1 , 1 \ 1 \ ~\~

(ДOкФл<V-A?= + -д + fAГ + VlA •

(9.15)

Rca - минимальное сеточное число Рейнольдса:

Rca =min(ReA;c, ReAt,, ReA), (9.16)

И а - местная скорость звука: а = л]ур/р.

Перед очередным шагом по времени для всех точек сетки по уравнению (9.14) можно рассчитать АЛ Затем наименьшее из используется для получения решения на следующем временном слое. Если нас интересует только установившееся решение, то, чтобы ускорить сходимость, Ли [Li, 1973] предложил во всех точках сетки использовать максимальное ЬЛ из рассчитываемых по (9.14). Для ускорения сходимости можно воспользоваться процедурой последовательной верхней релаксации по линиям, описанной в п. 4.5.6.

После каждого шага предиктор или корректор можно найти примитивные переменные р, и, v, w, е, р. Г, «декодируя» век-

а на шаге корректор, задаваемом уравнением (9.10), -в виде

тор U:

(9.18)

следующим образом:

~ Ul 2

V =

p = p(p, в), Г = Г(р, е).

(9.19)

Мак-Кормак [МасСогтаск, 1971] модифицировал исходный вариант своей схемы, введя в нее расщепление по времени. Применение этого модифицированного метода к вязкому уравнению Бюргерса (см. п. 4.5.8) расщепляет исходную схему Мак-Кормака на последовательность одномерных операций. В результате условие устойчивости, рассчитываемое для одномерной схемы, менее ограничительно, чем для трехмерной схемы. Таким образом, становится возможным продвигаться по каждому направлению с максимально возможным шагом по времени. Это особенно ценно, когда допустимые шаги по времени (Аа:, Atyy Az) сильно разнятся из-за большого различия шагов сетки по разным координатам (Ал:, Ау, Аг). Чтобы применить этот алгоритм к уравнению (9.19), определим одномерные разностные операторы Lx{Atx) Ly{Aty) и Lz{Mz) следующим образом. Применение оператора Ljp(A/jp)k /, fe

иТ.1л = ЛЮ11л

эквивалентно двухшаговой формуле

иГ/.. = Т [Ь. ft + "i. ft - ТГ Д. ft - ЕГ-.)]

(9.20)

(9.21)

В этих выражениях-используются фиктивные временные верхние индексы * и **. Операторы Ly(My) и Lz{Mz) определяются аналогичным образом. Другими словами, применение оператора

.K)«ub.ft

Ur/.ft = .(4)lb.ft (9.22)